先通过向量来理解矩阵。向量[1, -3, 4]可以解释成如下的向量的加法

任意向量v都可以写成如下扩展形式

进一步写成：

右侧的单位就是x, y, z轴，记为nx, ny, nz。我们可以将其写成：

v=x*nx+y*ny+z*nz

如果我们用向量p,g,r重写nx, ny, nz意义不变：

v=xp+yg+zr

这里p,g,r就称为基向量，在这里它们是笛卡尔坐标轴。事实上，一个坐标系能用任意三个线性无关的向量作基向量来定义，[x,y,z]是向量v在以p,g,r为基向量的坐标系中的表示。以p,g,r为行定义一个3*3矩阵M，得到

向量[x,y,z]乘以该矩阵，得到

我们发现它和v的表达式一样，因此我们得到以下结论：

矩阵的行是坐标系的基向量，一个向量乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换。如果aM=b，意味着原坐标系下的向量a在M的作用下（具体作用就是坐标变换，新的坐标系基坐标是p, q）转换到向量b。（如果p,q,r如果和nx, ny, nz值一样，则说明坐标系还是原来的坐标系，没有发生操作）

分别用三个基向量乘以矩阵M，由下式我们发现：矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。

下面的例子

笛卡尔坐标系下向量a在矩阵M的作用下（具体作用就是坐标变换，新的坐标系基坐标是p, q）转换到向量b。（b的具体坐标值还是用笛卡尔坐标表示，笛卡尔坐标相当于世界坐标系，是根节点坐标系，也是世界坐标系下的绝对位置，但是向量b是向量a经过M变换（包括旋转、伸缩）后产生的。）

原坐标系下有一幅画，那么经过M=[2 1; -1 2]的变换后得到的效果是旋转拉伸后的图像：

aM=b，其中a是原坐标（笛卡尔坐标系），此向量相对于坐标系位置如上面左图，M矩阵包含了新的坐标系的基，M的作用是旋转、缩放、投影等，b是a在M操作后新的向量，

a与原坐标系的相对位置，在进行M操作之后，与新坐标系下的向量跟该坐标系的相对位置应该一样的，即（a与原坐标系x-y的现对位置）等效于（b与变换后坐标系p-q的相对位置）。a向量经过旋转伸缩之后得到新向量b，b的具体位置靠绝对坐标（世界坐标）来表示，也就是用笛卡尔坐标表示。

比如上面左图中向量a在笛卡尔坐标系中的相对位置确定的（这个相对位置不一定是角度，如果只是旋转，则角度不变，如果有伸缩，则角度会变化），在进行M操作，旋转伸缩之后，得到新的坐标系为p-q，新的向量b与新坐标系的相对位置也是类似于（a与笛卡尔坐标西的相对位置）。M变换前，a是对角线，M变换后，b还是对角线。

aM=b，也可以这样理解，上图中，有一个物体，建立了一个物体坐标系，物体中某一点A连接物体坐标系的原点构成了向量a，M是对这个物体进行的操作（旋转、缩放、投影等），M操作完了之后，物体坐标系相对于物体的方位是不变的（就好比人的前后左后，不管站在什么角度，我的前后左右相对于我的方向是不变的），向量b物体中A点在物体旋转之后新的位置A1与物体原点连接成的向量。但是呢，a和b都采用世界坐标描述绝对位置。

总结：矩阵的几何意义

aM=b，其中M=[p;q;r]

a是世界坐标系下的向量，对a进行M变换，M变换后新的坐标系是以p, q,r 为坐标系的基，向量b是在新的基下的值，且p, q,r 的系数分别是a的三个系数。其中向量b的位置用世界坐标（绝对坐标）来描述。

原文链接：http://blog.csdn.net/u010821455/article/details/8991947