CodeForces - 1553E Permutation Shift(暴力+置换群求环)

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题目大意：假设初始时的数组为 [1,2,3,...,n][1,2,3,...,n][1,2,3,...,n]，同时 kkk 为偏移量，则原数组会循环右移 kkk 个单位，假设 k=3,n=5k=3,n=5k=3,n=5，则偏移后的数组为 [3,4,5,1,2][3,4,5,1,2][3,4,5,1,2]

现在给出一个数组，问能否通过至多 mmm 次交换，使得其变成偏移 kkk 个单位后的数组，如果可以的话，哪些 kkk 是符合条件的

题目分析：假设 kkk 是固定的，就变成了经典的置换群求换问题。简单说一下就是，我们最终的目标是需要得到 nnn 个自环，假设现在的置换群中有 ttt 个环，每次交换可以使得自环的个数增加 111，所以至少需要 n−tn-tn−t 次交换才能达到目标。这个可以 O(n)O(n)O(n) 去解决。

所以一个 O(n2)O(n^2)O(n2) 的解决方法就出来了，比赛的时候也是感觉可能存在着优化的思路但是自己不会就下机了。赛后看了题解发现就是多了个剪枝而已

假设我们至多可以交换 mmm 次，那么最多会影响到 2∗m2*m2∗m 个环，也就是说初始时就需要有 n−2∗mn-2*mn−2∗m 个自环才行。设 cnt[k]cnt[k]cnt[k] 是偏移量为 kkk 时的自环个数，不难看出 ∑cnt[i]=n\sum cnt[i]=n∑cnt[i]=n。又因为 m≤n3m\le \frac{n}{3}m≤3n，所以 cnt[k]≥n−2∗mcnt[k]\ge n-2*mcnt[k]≥n−2∗m 即 cnt[k]≥n3cnt[k]\ge \frac{n}{3}cnt[k]≥3n，所以这样的 kkk 最多有 333 个

剩下的暴力就可以了

代码：

// Problem: E. Permutation Shift
// Contest: Codeforces - Harbour.Space Scholarship Contest 2021-2022 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1553/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int p[N],a[N],cnt[N],n,m;
bool vis[N];
bool check(int k) {int tot=0;for(int i=k+1;i<=n;i++) {p[++tot]=a[i];}for(int i=1;i<=k;i++) {p[++tot]=a[i];}int ans=n;memset(vis,false,n+5);for(int i=1;i<=n;i++) {if(vis[i]) {continue;}ans--;int pos=i;while(!vis[pos]) {vis[pos]=true;pos=p[pos];}}return ans<=m;
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--) {read(n),read(m);memset(cnt,0,sizeof(int)*(n+5));for(int i=1;i<=n;i++) {read(a[i]);cnt[(i-a[i]+n)%n]++;}vector<int>ans;for(int i=0;i<n;i++) {if(cnt[i]>=n-2*m&&check(i)) {ans.push_back(i);}}printf("%d",(int)ans.size());for(auto it:ans) {printf(" %d",it);}puts("");}return 0;
}

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