CSP认证201809-4 再卖菜[C++题解]：差分约束、前缀和

文章目录

题目解答
题目链接

题目解答

来源：acwing

分析：

对于a0,a1,...,ana_0, a_1,...,a_na0,a1,...,an，经过计算相邻的数的平均值得到b0,b1,...,bnb_0, b_1,...,b_nb0,b1,...,bn,现在给定序列b的值，反求序列a的值。

为了处理3者求和，我们使用前缀和的技巧求三个数或者2个数的和： ai−1+ai+ai+1=s[i+1]−s[i−2]a_{i-1}+a_i+a_{i+1} = s[i+1] - s[i-2]ai−1+ai+ai+1=s[i+1]−s[i−2]

其实，bi=⌊ai−1+ai+ai+13⌋=⌊s[i+1]−s[i−2]3⌋b_i = \lfloor \frac{a_{i-1}+a_i+a_{i+1}}{3}\rfloor= \lfloor \frac{s[i+1] - s[i-2]}{3}\rfloorbi=⌊3ai−1+ai+ai+1⌋=⌊3s[i+1]−s[i−2]⌋
等价于 3bi≤s[i+1]−s[i−2]≤3bi+2(1)3b_i \leq s[i+1] - s[i-2] \leq 3b_i +2 (1)3bi≤s[i+1]−s[i−2]≤3bi+2(1)

由于题目给定每个店铺的价格都是正整数
所以还有约束：s[i]−s[i−1]≥1（2）s[i] - s[i-1] \geq 1（2）s[i]−s[i−1]≥1（2）

得到了不等式约束，并且都是作差的形式，所以这是一道差分约束的题目。那么就要往spfa求最短路和最长路的角度去想。这里要求字典序最小的值，按照套路，这里要用最长路，所以三角不等式为：
dist[b]≥dist[a]+cdist[b] \geq dist[a] + cdist[b]≥dist[a]+c

对应的是a到b有一条权值为c的边。

所以我们对上面的(1)和(2)不等式约束进行变形，同时得到点、边权的关系:

(1)式可以拆成2个不等式：
s[i+1]≥s[i−2]+3bis[i+1] \geq s[i-2] + 3b_is[i+1]≥s[i−2]+3bi

对应的是i-2这个点到i+1这个点有一条权值为3bi3b_i3bi的边
s[i−2]≥s[i+1]−(3bi+2)s[i-2] \geq s[i+1] -(3b_i + 2)s[i−2]≥s[i+1]−(3bi+2)
对应的是i+1这个点到i-2这个点有一条权值为−（3bi+2）-（3b_i+2）−（3bi+2）的边

(2)式对应不等式：
s[i]≥s[i−1]+1s[i] \geq s[i-1] + 1 s[i]≥s[i−1]+1

对应的是i-1这个点到i这个点有一条权值为111的边

关于差分约束的板子
算法提高课-图论-差分约束- AcWing 1169. 糖果：spfa求单源最短路、差分约束

这里的最长路指的是，建立一个超级源点0号点，求出所有点到0号点的最长路，为啥求出最长路之后就是我们要求的值呢？因为这里本质上求的是一系列不等式：
s[i]≥...≥s[0]≥0s[i] \geq... \geq s[0] \geq 0s[i]≥...≥s[0]≥0很多这样的不等式，我们取它们的交集即可。

每一个这样的不等式链路对应图中的一个最短路（或者最长路），这里是因为求的是最小值，用的是最长路。

ac代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 310, M = N * 3;
int n, m;
int h[N], e[M],w[M], ne[M], idx;
int dist[N], q[N];
int b[N];
bool st[N];void add(int a, int b, int c){e[idx] = b, w[idx] =c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}// SPFA求最长路
void spfa(){// 求最长路，需要初始化为-∞memset(dist,-0x3f, sizeof dist);queue<int> q;q.push(0);dist[0] = 0;while(q.size()){auto t = q.front();q.pop();st[t] = false;for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] < dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];if(!st[j]){q.push(j);st[j] = true;}}}}
}int main(){memset(h, -1, sizeof h);cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i];//除去端点值需要满足的条件for(int i = 2; i < n; i ++){add(i -2, i + 1, b[i] * 3 );add( i + 1, i - 2, -(b[i] * 3 + 2));}//端点需要满足的条件add(0, 2, b[1] * 2), add(2, 0, -(b[1] * 2 + 1));add(n - 2, n, b[n] * 2), add(n, n - 2, -(b[n] * 2 +1));// 所有点都满足的条件for(int i = 1; i <= n; i ++) add(i - 1, i, 1);// 求最长路spfa();for(int i = 1; i <= n; i ++)// 前缀和求某点的值cout << dist[i] - dist[i - 1] << " ";}

题目链接

https://www.acwing.com/problem/content/3268/