图论（八）最小生成树

一个正在进行信息化建设的国家级贫困县，需要在下属9个乡镇之间架设光纤网络。为减少建设难度，光纤网主要沿着这9个乡镇之间互连的公路进行铺设。这9个乡镇之间的公路网以及相互之间的距离(单位：km)如下图所示：

如果你是工程师，该怎样设计线路铺设方案？当然，你可以直接把所有的公路网都铺设上光缆，这样的线路总长度是247公里。但如果你是这样想的，那么我一定会怀疑你到底是不是一名工程师！

你可以再设计一种方案，如下图中粗线条所示：

这种铺设方案的线路总长是161公里，这比前面的强多了。再进一步，你还可以得到2种更短的铺设线路：

这2种线路的总长分别是100km和95km。显然比前面的方案节省了更多。当然，这种线路方案你还可以列出很多。

在这个实际应用中，我们的目的，是要寻求一种连接图中所有节点的、成本最低的方式。本质上，再抽象一层，这是个组合优化问题，可以使用一些智能优化算法来解决。而在这个实例上，我们寻求使用更简单的图论方式解决。

当然，这是个老问题了，至少在20世纪初就已经提出了，它的解决方案最初是1926年由捷克数学家在构建一个电力网络的过程中首先提出来的。这种方式经常被用于架设电网、通信网、公路网、铁路网，甚至是架构某种形式的计算集群（这些任务都需要我们连接其中的每一个节点），也是解决旅行商问题的基础。

再回到这个问题本身，要包含图中所有的顶点n，同时代价最少，第一个想到的自然是减少边的数量，而要连接所有n个顶点，显然至少需要n-1条边。而我们知道一颗树(tree)就是n个顶点，n-1条边。

所以，这里引申出图论中的一个新概念：生成树(spanning tree)。含有图中全部n个顶点，以及包含图中某些n-1条边的一颗树是该图的生成树。有几个情况需要注意：

图本身必须是无向连通图；
如果是非连通图，那就不存在生成树的概念。我们知道树中任意2点都是连通的。如果是有向图，那也没有这个概念。
生成树不止一种；
生成树的n-1条边可以在图的边集合中选择，当然不止一种情况。
每个生成树代价不同。
一般使用生成树中边的权重值总和代表每个生成树的代价。
而我们的工作就是要找到所有生成树中代价最小的，这就是最小生成树(minimum spanning tree)问题。

那么，我们构建最小生成树的时候，要从哪里着手呢？

首先，我们从边出发，先找到最短的边。

如上图所示，边e-i显然是最短的。最小生成树会不会一定包含这条边？根据上面的描述，生成树要包含所有的顶点，因此，生成树一定包含e，i两个顶点，所以也必然包含一条e，i之间的路径。我们随便构成一个生成树，见下图：

图中粗线条为构成的生成树，并不包含最短边e-i。e,i之间的路径是e-f-j-d-b-a-i，如果我们将边e-i加入这个生成树，必然构成环。

要消除这个环，从而构成新的生成树，我们可以移除e-f-j-d-b-a-i-e环路上除边e-i的其他任意一条边。例如，移除a-b或b-d。我们看看移除b-d，构成了一个新的生成树。

这个新的生成树与原先的生成树就差在一个包含边b-d，不包含边e-i，一个包含边e-i，不包含b-d。而新的生成树代价比原先的生成树代价低，因为边e-i是最短的，代价比边b-d要小。

因此，无论移除其他边中的哪条边，重新构成新的生成树都比最先的生成树代价小。因为哪条边的代价都比边e-i的代价要大。也就是说，任何不包含最短边的生成树结构都可以被做的更小。所以，最小生成树一定包含最短边。（后面的文章我们将看到，这也是最小生成树算法Kruskal的基本思想）。

其次，我们从顶点出发，来看看有什么新的结论。还是上面的图，我们以顶点b为例，根据生成树的定义，顶点b与其它顶点肯定是连通的。而顶点b有2条边，即边a-b，边b-d。这意味着最小生成树必然包含这2条边中的一个。而边b-d比a-b要短，因此选择b-d是否更合理？

我们用反证法证明下，假设选择较长的边a-b是更好的选择，即最小生成树包含a-b这条边。我们把边b-d也加入这个生成树，形成了一个环。在这个环中，如果移除边a-b，那么得到的新生成树代价比以前的要小，这与假设的选择较长边更好相矛盾。所以在b点选择较短的边才有可能生成最小生成树。（后面的文章我们将看到，这也是最小生成树算法Prim的基本思想）。

参考文献：

1.《大话数据结构》程杰清华大学出版社
2.《Python算法教程》Magnus Lie Hetland 人民邮电出版社

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图论（八）最小生成树

参考文献：

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