计算球面上任意两点间的球面距离（C++实现）

文章目录

1 预备知识
2 原理描述
3 代码实现

1 预备知识

在求解此问题之前首先要明确一下几点：

（1）两点间的球面距离： 球面上两点间的最短距离，即球心与球面上两点所确定的平面与球面相交，得到一截面圆，两点间的劣弧（圆心角<180°的圆弧）就是这两点间的球面距离。

（2）任意与球面相交的平面，球截面均为一个圆，不可能出现其他截面形状。

（3）余弦定理

（4）弦长公式

角度制下：

已知圆弧的半径 RRR，圆心角 n°n°n°，则弧长计算公式为

l=n°πR180°l=\cfrac{n°\pi R}{180°}l=180°n°πR

弧度制下：

已知圆弧的半径 RRR，圆心角（弧度） θ\thetaθ，则弧长计算公式为
l=R⋅θl=R·\thetal=R⋅θ

2 原理描述

已知球面上两点 S1(x1,y1,z1)S_1(x_1,y_1,z_1)S1(x1,y1,z1)、S2(x2,y2,z2)S_2(x_2,y_2,z_2)S2(x2,y2,z2)与球心 O(x0,y0,z0)O(x_0,y_0,z_0)O(x0,y0,z0)，可以唯一确定一个平面，且三点围成一个扇形 ⌔OS1S2⌔OS_1S_2⌔OS1S2，半径为球半径 RRR。

根据余弦定理，可求得扇形的圆心角 α\alphaα

cosα=2R2−∣S1S2∣22R2=1−∣S1S2∣22R2cos\alpha=\cfrac{2R^2-|S_1S_2|^2}{2R^2}=1-\cfrac{|S_1S_2|^2}{2R^2}cosα=2R22R2−∣S1S2∣2=1−2R2∣S1S2∣2
α=arccos(1−∣S1S2∣22R2)\alpha=arccos(1-\cfrac{|S_1S_2|^2}{2R^2})α=arccos(1−2R2∣S1S2∣2)

其中，∣S1S2∣|S_1S_2|∣S1S2∣ 为两点构成的弦长，且
∣S1S2∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|S_1S_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}∣S1S2∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
根据上面给出的弧长公式，即可计算出球面上任意两点间的球面距离。

3 代码实现

以球心位于坐标原点 O(0,0,0)O(0,0,0)O(0,0,0)，球半径 R=1.0R=1.0R=1.0 的球面为例，已知球面上两点 p1(1,0,0)p_1(1,0,0)p1(1,0,0)，p2(0,0,1)p_2(0,0,1)p2(0,0,1)，求这两点的球面距离。

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>using namespace std;//XYZ点类型结构体
struct PointXYZ
{public:double x;double y;double z;
};//球面距离求解类
class SphereDistanceCalculator
{public:/*** @brief   ：设置球半径* @param[I]：R（球半径）* @param[O]：none* @return  ：none* @note    ：**/void setSphereRadius(double R);/*** @brief   ：设置球面两点* @param[I]：p1（球面第一点）* @param[I]：p2（球面第二点）* @param[O]：none* @return  ：none* @note    ：**/void setSpherePoints(PointXYZ p1, PointXYZ p2);/*** @brief   ：计算球面距离* @param[I]：none* @param[O]：none* @return  ：vector<double>，依次为弦长、圆心角、球面距离* @note    ：**/vector<double> calculateSphereDistance();private:double m_R;          //球半径bool is_setSphereRadius = false;PointXYZ m_p1;        //球面第一点PointXYZ m_p2;       //球面第二点bool is_setSpherePoints = false;
};/**
* @brief   ：设置球半径
* @param[I]：R（球半径）
* @param[O]：none
* @return  ：none
* @note    ：
**/
void SphereDistanceCalculator::setSphereRadius(double R)
{if (R > 0){m_R = R;is_setSphereRadius = true;}else{cerr << "\a->球体半径应为一个正数！\n";system("pause");abort();}
}/**
* @brief   ：设置球面两点
* @param[I]：p1（球面第一点）
* @param[I]：p2（球面第二点）
* @param[O]：none
* @return  ：none
* @note    ：
**/
void SphereDistanceCalculator::setSpherePoints(PointXYZ p1, PointXYZ p2)
{m_p1 = p1;m_p2 = p2;is_setSpherePoints = true;
}/**
* @brief   ：计算球面距离
* @param[I]：none
* @param[O]：none
* @return  ：vector<double>，依次为弦长、圆心角、球面距离
* @note    ：
**/
vector<double> SphereDistanceCalculator::calculateSphereDistance()
{if (!is_setSphereRadius){cerr << "\a->请输入球半径！\n";system("pause");abort();}if (!is_setSpherePoints){cerr << "\a->请输入球面上两点三维坐标！\n";system("pause");abort();}vector<double> res;        //存放返回值的向量double S1S2;          //弦长S1S2 = sqrt(pow((m_p2.x - m_p1.x), 2) + pow((m_p2.y - m_p1.y), 2) + pow((m_p2.z - m_p1.z), 2));res.push_back(S1S2);double alpha;         //圆心角alpha = acos(1 - pow(S1S2 / m_R, 2) / 2);res.push_back(alpha);double sphereDistance;  //球面距离sphereDistance = m_R * alpha;res.push_back(sphereDistance);return res;
}int main()
{const double PI = 3.14159265359;  //常量PIPointXYZ p1, p2;                  //球面两点坐标p1.x = 1.0;p1.y = 0.0;p1.z = 0.0;p2.x = 0.0;p2.y = 0.0;p2.z = 1.0;SphereDistanceCalculator sdc;       //创建球面距离求解对象sdc.setSphereRadius(1.0);           //设置球半径sdc.setSpherePoints(p1, p2);     //设置球面上两点vector<double> rec;                  //存放弦长、圆心角、球面距离的向量rec = sdc.calculateSphereDistance();//执行计算，并将结果存放到rec中cout << "->球面两点的直线距离（圆弧弦长）：" << rec[0] << endl;cout << "->球面两点对应的圆心角（弧度）：" << rec[1] << endl<< "  球面两点对应的圆心角（角度）：" << rec[1] / PI * 180 << "°" << endl;cout << "->球面两点的球面距离：" << rec[2] << endl;return 0;
}

输出结果：

->球面两点的直线距离（圆弧弦长）：1.41421
->球面两点对应的圆心角（弧度）：1.5708球面两点对应的圆心角（角度）：90°
->球面两点的球面距离：1.5708