夕拾算法进阶篇：15)最长公共子序列(动态规划DP)

题目描述

给你一个序列X和另一个序列Z，当Z中的所有元素都在X中存在，并且在X中的下标顺序是严格递增的，那么就把Z叫做X的子序列。

例如：Z=<a,b,f,c>是序列X=<a,b,c,f,b,c>的一个子序列，Z中的元素在X中的下标序列为<1,2,4,6>。

现给你两个序列X和Y，请问它们的最长公共子序列的长度是多少？

输入

输入包含多组测试数据。每组输入占一行，为两个字符串，由若干个空格分隔。每个字符串的长度不超过100。

输出

对于每组输入，输出两个字符串的最长公共子序列的长度。

样例输入
abcfbc abfcab
programming contest

abcd mnp

样例输出

4
2

以字符串“sadstory”与“adminsorry”为例，其最长的公共子序列(为“adsory”，长度为6。

解题思路：令二维数组dp[i][j]表示字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的最长公共子序列，如dp[4][6]表示“sads”和“admins”的最长公共子序列长度。那么A[i]和B[j]可以分为2种情况：

(1)A[i]==B[j]，说明字符串A与字符串B的最长公共子序列长度又增加了1位，即dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。例如在样例中dp[4][6]表示示“sads”和“admins”，因为A[4]==B[6]，所以dp[4][6]=dp[3][5]+1 即3

(2)A[i]!=B[j]，说明字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的最长公共子序列无法延长，因而dp[i][j]将会继承dp[i-1][j]和dp[i][j-1]，即有dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。例如，dp[3][3]表示"sad"与“adm”的最长公共子序列的长度，但是A[3]!=B[3]，这样dp[3][3]无法在原有的基础上延长，因此会继承“sa”与“adm”、“sad”与“ad”的最长公共子序列的较大值，即“sad”与“ad”的最长公共子序列长度2。(这里的i,j在某种意义上来说，地位是对等的)

由此可以得到状态转移方程：

边界：dp[i][0]=dp[0][j]=0 (字符串下标从1开始，下标0因此为0)

这样dp[i][j]就与之前的状态无关，由边界出发可以得到整个dp数组，最终dp[n][m]就是需要的结果，其实现代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int M=102;
int dp[M][M]; //默认边界为0
char str1[M],str2[M]; int main(){int i,j;//从数组的下标1开始读取字符串 while(scanf("%s%s",str1+1,str2+1)!=EOF){for(i=1;str1[i];i++){for(j=1;str2[j];j++){if(str1[i]==str2[j]){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);}}}printf("%d\n",dp[i-1][j-1]);//dp[i]为'\0' }
}

题目来源：http://www.codeup.cn/problem.php?cid=100000628&pid=0

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