前言

一、问题描述

列举X的所有子序列，然后检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否是X和Y的公共子序列。枚举算法的时间复杂度为指数级时间复杂度。

二、DP实现

1、最优子结构性质*****

注意：可能同时有多个长度相等的最长公共子序列！

倒推—从最后一个元素开始分析

2、状态表示*****

输入序列对(X_(m-1),Y_(n-1) )，(X_(m-1),Y_n ) 和(X_m,Y_(n-1) )都分别表示一个子问题（x_m等于或不等于y_n，都可以分解为这三个子问题）
子问题可以通过两个参数确定，即序列 X 的长度和序列 Y 的长度
C(i,j)表示序列X_i={x₁,x₂,…,x_i }和Y_j={y₁,y₂,…,y_j } 的最长公共子序列长度
C(m, n)则表示原问题的最长公共子序列长度

3、状态递归方程*****

当i=0或j=0时，C(i,j)=0；
当i, j>0时，C(i,j)的求解包括 两种情况 ：
1. x_i=y_j时， (X_(i-1),Y_(j-1) )的最长公共子序列末尾添加元素x_i (=y_j)，即可得到(X_i,Y_j )的最长公共子序列
2. x_i≠y_j时，(X_i,Y_j )的最长公共子序列等于(X_i,Y_(j-1) )和(X_(i-1),Y_j )的最长公共子序列的较大者。

4、计算最优值*****

注意：
当第一次遍历自底向上求解时，X[1] != Y[1]，所以走第三条路：求c[0][1] c[1][0]的最大值，但是这两个值都是0，所以取哪一个都可以，所以后续求最长公共子序列的序列时，这里的左箭头和上箭头都是一样的，

第一次遍历：

5、代码实现：输出最长公共子序列

代码的输出就是最长公共子序列的长度

public class Main {public static int MAX = 1000;public static int lcsLength(char[] strX,char[] strY) {int[][] C = new int[MAX][MAX], B = new int[MAX][MAX];int i, j;int m = strX.length + 1;int n = strY.length + 1;for (i = 0; i < m; i++)C[i][0] = 0;  //初始化第一行for (j = 0; j < n; j++)C[0][j] = 0;  //初始化第一列for (i = 1; i < m; i++) {for (j = 1; j < n; j++) {if (strX[i-1] == strY[j-1]) {C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1;B[i][j] = 1;} else if(C[i - 1][j] >= C[i][j - 1]) {C[i][j] = C[i-1][j];B[i][j] = 2;} else {C[i][j] = C[i][j-1];B[i][j] = 3;}}// end for(j}//end for(ireturn C[m - 1][n - 1];}public static void main(String[] args) {char[] x = {'A', 'B', 'C', 'B', 'D', 'A', 'B'};char[] y = {'B', 'D', 'C', 'A', 'B', 'A'};int i = lcsLength(x, y);System.out.println(i);}
}

6、代码实现：输出最优解

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动态规划算法学习二：最长公共子序列

文章目录

前言

一、问题描述

二、DP实现

1、最优子结构性质*****

2、状态表示*****

3、状态递归方程*****

4、计算最优值*****

5、代码实现：输出最长公共子序列

6、代码实现：输出最优解

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