(1) 采样的说明

1. 为什么要取样

我们要使用计算机去处理信号。信号都是连续的，在任意一个非空区间内都有无限个值，但是计算机的内存是一个有限值，只能完成有限的数据存储和运算，所以要进行采样和量化等操作，把信号离散成有限个点就可以使用计算机处理了。当信号在计算机中处理完，按照一定的规则恢复成连续的状态就可以了。
注意采样定理和后面 DFT（discrete Fourier transform）之间的联系。

2. 什么是取样

取样就是利用取样脉冲序列从连续信号中 抽取离散的样本值。
- 从时域上看 fs(t)=f(t)×s(t)f_s(t) = f(t) \times s(t)fs(t)=f(t)×s(t)
- 从频域上看 Fs(jω)=12πF(jω)∗S(jω)F_s(j\omega) = \displaystyle\frac{1}{2\pi}F(j\omega) * S(j\omega)Fs(jω)=2π1F(jω)∗S(jω)
冲激取样（理想取样）的例子
- 可以看到在时域上是通过乘积完成对应离散点的选取，在频域上完成的是信号频谱的周期延拓。

(2) 采样定理

1. 为什么要有奈奎斯特频率

首先要明白一件事，使用采样点恢复出原来的信号需要的是进行一个低通滤波，把频域上的低频波形滤出来就可以了。
从上面的图可以看出来，取样在频域中相当于进行了频谱的周期延拓，所以就会出现一个问题，平移距离不够会引起频域波形的重叠，当发生重叠之后就无法完成滤波了，即无法完成信号的恢复了。因此需要对平移的距离有一个限制，也就是采样定理中的奈奎斯特频率。

2. 什么是采样定理

一个频谱在区间 (−ωm,ωm)(-\omega_m,\omega_m)(−ωm,ωm) 以外为 0 的带限信号 f(t)f(t)f(t)，可唯一的由其在均匀间隔 Ts[Ts<2π/ωm]T_s [T_s < 2\pi/\omega_m]Ts[Ts<2π/ωm] 上的样值点 f(nTs)f(nT_s)f(nTs) 确定。
- 注意必须是带限信号。像冲激函数这样的就无法取样，因为在频域上的无限意味着在时域信号的存在时间无限趋于 0。
- 取样频率不能太低，必须 fs>2fmf_s > 2f_mfs>2fm 。最低取样频率 fs=2fmf_s = 2f_mfs=2fm称为奈奎斯特频率。

(3) 信号的恢复

参量的说明
- 低通滤波器的截止角频率：ωc\omega_cωc，从图上明显可以看出需要有 ωm<ωc<ωs−ωm\omega_m<\omega_c<\omega_s-\omega_mωm<ωc<ωs−ωm，为方便取 ωc=0.5ωs\omega_c = 0.5\omega_sωc=0.5ωs。
- 采样角频率： ωs\omega_sωs，注意根据采样定理 ωs>2ωm\omega_s > 2\omega_mωs>2ωm。
- 带限信号的最大角频率：ωm\omega_mωm。
信号恢复的过程是信号采样过程的逆过程。实际上在进行频域乘积滤波的过程中，时域进行了卷积的平移，平移到不同位置的函数叠加就恢复出原始信号。

(4) Matlab的Sa函数取样仿真

1. 采样信号Sa函数的说明

Matlab 中自带的函数是 sinc 函数，其形式是 sin(πt)πt\displaystyle\frac{sin(\pi t)}{\pi t}πtsin(πt)，我们要在仿真中使用的是 Sa 函数，其形式是 sin(t)t\displaystyle\frac{sin(t)}{t}tsin(t)，因此 sa = sinc(t/pi)。

代码：

%% 打印出来sa函数
t = -20:0.001:20;
L = length(t);
x = sinc(t / pi);
plot(t,x,'LineWidth',3);
xlabel('t');ylabel('Amplitude'); title('Sa(t)')

结果：

2. 进行参数的说明及相关计算

参数说明
- sa(t)sa(t)sa(t) 的傅里叶变换结果是 πg2(ω)\pi g_2(\omega)πg2(ω)，就是一个门宽为 2 的门函数。因此可以知道 ωm=1\omega_m = 1ωm=1。
- 根据奈奎斯特采样定律，这里选取 ωs=2ωm\omega_s = 2\omega_mωs=2ωm，ωs=1.5ωm\omega_s=1.5\omega_mωs=1.5ωm，ωs=4ωm\omega_s=4\omega_mωs=4ωm。分别模拟临界采样，欠采样和过采样三种情况。相应的选取信号还原时低通滤波器的截止频率 ωc=0.5ωs\omega_c = 0.5\omega_sωc=0.5ωs。
这里选取时域的正半轴取样点一共 N 个，下面使用 ∞\infin∞ 推公式，但是最后要用 NNN。
信号取样
- 冲激取样函数：δTs(t)=∑n=−∞∞δ(t−nTs)\delta_{T_s}(t)=\displaystyle\sum_{n=-\infin}^{\infin}\delta(t-nT_s)δTs(t)=n=−∞∑∞δ(t−nTs)。
- 通过采样的定义可知 fs(t)=f(t)×sa(t)f_s(t) = f(t) \times sa(t)fs(t)=f(t)×sa(t)，在matlab中只需要 fs = sinc(t/pi)。
信号恢复
- 采样后的信号在时域上的表达式为 fs(t)=f(t)∑n=−∞∞δ(t−nTs)=∑n=−∞∞δ(t−nTs)f(nTs)f_s(t)=f(t)\displaystyle\sum_{n=-\infin}^{\infin}\delta(t-nT_s)=\displaystyle\sum_{n=-\infin}^{\infin}\delta(t-nT_s)f(nT_s)fs(t)=f(t)n=−∞∑∞δ(t−nTs)=n=−∞∑∞δ(t−nTs)f(nTs)
- 假设采样后的信号在频域上的表达式为 Fs(jω)F_s(j\omega)Fs(jω)，并选取低通滤波器
  H(ω)={Ts,∣ω∣≤ωc0,∣ω∣>ωcH(\omega)=\begin{cases} T_s ,&|\omega|\leq \omega_c\\ 0, & |\omega|> \omega_c \end{cases}H(ω)={Ts,0,∣ω∣≤ωc∣ω∣>ωc
  可以算出 H(ω)H(\omega)H(ω) 在时域上的表达式 h(t)=Tsωcπsa(ωct)h(t)=T_s\displaystyle\frac{\omega_c}{\pi}sa(\omega_ct)h(t)=Tsπωcsa(ωct)。之所以选取H(ω)H(\omega)H(ω)的放大倍数为 TsT_sTs 是因为此时 h(t)h(t)h(t) 的系数是 1（因为 ωc=0.5ωs\omega_c = 0.5\omega_sωc=0.5ωs）。
- 根据前面的讨论，让取样后的信号通过低通滤波器相当于频域相乘即 F(jω)=Fs(jω)×H(ω)F(j\omega) = F_s(j\omega)\times H(\omega)F(jω)=Fs(jω)×H(ω)。同时根据时域和频域的关系，f(t)=fs(t)∗h(t)f(t) = f_s(t) * h(t)f(t)=fs(t)∗h(t)。带入前面的结果可以得到f(t)=Tsωcπ∑n=−∞∞f(nTs)sa(ωc(t−nTs))f(t)=T_s\displaystyle\frac{\omega_c}{\pi}\displaystyle\sum_{n=-\infin}^{\infin}f(nT_s)sa(\omega_c(t-nT_s))f(t)=Tsπωcn=−∞∑∞f(nTs)sa(ωc(t−nTs))

3. 结果的展示

临界取样

过采样（实际上这里有一点不太明白，为什么过采样恢复后信号的误差会比临界采样的大？？）

欠采样

4. matlab 代码

%% matlab 完成Sa信号的采样和恢复
%% 取样（临界取样）
% 取样
figure(1);
wm = 1; %信号的最大频率
ws = 2 * wm; %信号的采样频率（根据奈奎斯特频率）
wc = 0.5 * ws;%滤波器的截止频率
Ts = 2*pi/ws;%采样间隔
N = 10;%时域采样点数
n = -N:N;
nTs = n * Ts;%采样数据的采样时间
fs = sinc(nTs/pi);%完成采样
subplot(311);
stem(nTs/pi,fs,'LineWidth',3);
xlabel("nTs");
ylabel("f(nTs)");
title("sa(t)的临界取样信号");
% 还原
Dt = 0.005;
t = -15:Dt:15;
fa = Ts*wc/pi * fs * sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
subplot(312);
plot(t,fa,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("f(t)");
title("由临界取样信号重构sa(t)");
% 展示误差
error = abs(fa-sinc(t/pi));
subplot(313);
plot(t,error,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("error(t)");
title("重构信号与原信号的误差error(t)");
%% 取样（过取样）
% 取样
figure(2);
wm = 1; %信号的最大频率
ws = 4 * wm; %信号的采样频率（根据奈奎斯特频率）
wc = 0.5 * ws;%滤波器的截止频率
Ts = 2*pi/ws;%采样间隔
N = 20;%时域采样点数
n = -N:N;
nTs = n * Ts;%采样数据的采样时间
fs = sinc(nTs/pi);%完成采样
subplot(311);
stem(nTs/pi,fs,'LineWidth',3);
xlabel("nTs");
ylabel("f(nTs)");
title("sa(t)的过取样信号");
% 还原
Dt = 0.005;
t = -15:Dt:15;
fa = fs*Ts*wc/pi * sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
subplot(312);
plot(t,fa,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("f(t)");
title("由过取样信号重构sa(t)");
% 展示误差
error = abs(fa-sinc(t/pi));
subplot(313);
plot(t,error,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("error(t)");
title("重构信号与原信号的误差error(t)");
%% 取样（欠取样）
% 取样
figure(3);
wm = 1; %信号的最大频率
ws = 1.5 * wm; %信号的采样频率（根据奈奎斯特频率）
wc = 0.5 * ws;%滤波器的截止频率
Ts = 2*pi/ws;%采样间隔
N = 7;%时域采样点数
n = -N:N;
nTs = n * Ts;%采样数据的采样时间
fs = sinc(nTs/pi);%完成采样
subplot(311);
stem(nTs/pi,fs,'LineWidth',3);
xlabel("nTs");
ylabel("f(nTs)");
title("sa(t)的欠取样信号");
% 还原
Dt = 0.005;
t = -15:Dt:15;
fa = fs*Ts*wc/pi * sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
subplot(312);
plot(t,fa,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("f(t)");
title("由欠取样信号重构sa(t)");
% 展示误差
error = abs(fa-sinc(t/pi));
subplot(313);
plot(t,error,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("error(t)");
title("重构信号与原信号的误差error(t)");

现在已经转移到知乎，之后的文章会在知乎更新。

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深入理解采样定理 + Matlab 仿真 Sa 函数的采样与恢复

文章目录

(1) 采样的说明

1. 为什么要取样

2. 什么是取样

(2) 采样定理

1. 为什么要有奈奎斯特频率

2. 什么是采样定理

(3) 信号的恢复

(4) Matlab的Sa函数取样仿真

1. 采样信号Sa函数的说明

2. 进行参数的说明及相关计算

3. 结果的展示

4. matlab 代码

深入理解采样定理 + Matlab 仿真 Sa 函数的采样与恢复相关推荐

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