国庆 day 3 上午

a
【问题描述】
　　　　　　　　你是能看到第一题的 friends 呢。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——hja
　　　　怎么快速记单词呢？也许把单词分类再记单词是个不错的选择。何大爷给
　　出了一种分单词的方法，何大爷认为两个单词是同一类的当这两个单词的各个
　　字母的个数是一样的，如 dog 和 god。现在何大爷给了你?个单词，问这里总共
　　有多少类单词。
【输入格式】
　　第一行一个整数n代表单词的个数。
　　接下来n行每行一个单词。
【输出格式】
　　一行一个整数代表答案。
【样例输入】
　　3
　　AABAC
　　CBAAA
　　AAABB
【样例输出】
　　2
【数据范围与规定】
　　70%的数据，1 ≤ ? ≤ 100。
　　对于100%的数据，1 ≤ ? ≤ 10000，所有单词由大写字母组成。
　　P99 zhxb

思路：很简单，sort一下，set记录就好。

#include<set>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
string s;
set<string>s1;
using namespace std;
int main(){freopen("a.in","r",stdin);freopen("a.out","w",stdout);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>s;sort(s.begin(),s.end());s1.insert(s);}cout<<s1.size();
}

View Code

b
【问题描述】
　　　　　　你是能看到第二题的 friends 呢。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——laekov
　　　　长度为?的铁丝，你可以将其分成若干段，并把每段都折成一个三角形。你
　　还需要保证三角形的边长都是正整数并且三角形两两相似，问有多少种不同的
　　分法。
【输入格式】
　　一行一个整数n。
【输出格式】
　　一行一个整数代表答案对10 9 + 7取模之后的值。
【样例输入 1
　　6
【样例输出 1】
　　2
【样例输入 2】
　　9
【样例输出 2】
　　6
【样例解释 2】
　　(1,1,1),(2,2,2);(2,2,2),(1,1,1)算两种方案。
【数据范围与规定】
　　对于30%的数据，1≤n≤100。
　　对于60%的数据，1 ≤n≤ 1000。
　　对于100%的数据，1 ≤ n≤ 10^6 。
　　P99 zhxc

思路：打表+

以下解题思路转自xxy大佬的博客

设分成的每段长为Li，g=gcd（Li）

那么一共有n/g 个单位

设f[g]表示以g为周长，且三边gcd为1 的三角形的个数

设h[n/g]表示把n/g个单位分配给任意多个三角形的个数

那么 ans=Σ f[g]*h[n/g] （g|n）

求f[g]：

设g=a+b+c，且a<=b<=c

对b和c的大小分两种情况讨论：

① b==c ：

==> g=a+2b，那么b∈[ceil(g/3),floor((g-1)/2)]

所以f[g]=floor((g-1)/2）- ceil(g/3) +1

② b<c ：

a，b，c 的每一种方案都可以看做由 a，b，c-1的每一种方案转移过来

但有一种除外：a+b=c，因为此时a，b，c-1 合法，a，b，c 不合法

当g为偶数时，a+b+a+b=g，g=2*（a+b），所以有floor（g/4）个

所以f[g]=f[g-1]+ （b&1）？ 0 ： -g/4

然后因为要求三边长互质，所以枚举g的每个因数k，f[g]-=f[k]

求h[i]：

把i个物品分成任意份的方案数=C（i-1,0）+C（i-1，1）+……+C（i-1，i-1）

= 2^(i-1)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 1000010
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,ans;
int f[MAXN],dp[MAXN],more[MAXN];
void 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2647;f[690]=332920397;f[691]=10034;f[692]=16340;f[693]=653685751;f[694]=12586;f[695]=343466095;f[696]=929250733;f[697]=95592236;f[698]=12731;f[699]=372677413;f[700]=505554620;f[701]=10325;f[702]=484673687;f[703]=203423644;f[704]=26131550;f[705]=583750068;f[706]=13024;f[707]=952767238;f[708]=249696771;f[709]=10561;f[710]=17689299;f[711]=210988695;f[712]=140169231;f[713]=133059369;f[714]=142721121;f[715]=741851795;f[716]=17490;f[717]=850488986;f[718]=13470;f[719]=10860;f[720]=308702450;f[721]=810995891;f[722]=394781562;f[723]=401912787;f[724]=17880;f[725]=359648052;f[726]=278574349;f[727]=11102;f[728]=223324365;f[729]=674663557;f[730]=41699365;f[731]=374737300;f[732]=288178886;f[733]=11285;f[734]=14076;f[735]=119111885;f[736]=741314328;f[737]=317619815;f[738]=899077274;f[739]=11470;f[740]=340571402;f[741]=176555384;f[742]=680009780;f[743]=11594;f[744]=622059992;f[745]=692453917;f[746]=14539;f[747]=859093140;f[748]=953913486;f[749]=975551267;f[750]=462624064;f[751]=11844;f[752]=460669231;f[753]=543654149;f[754]=456025416;f[755]=769759553;f[756]=964948885;f[757]=12033;f[758]=15010;f[759]=666496731;f[760]=357067089;f[761]=12160;f[762]=349134363;f[763]=902123092;f[764]=19904;f[765]=655334128;f[766]=15328;f[767]=670835577;f[768]=180320395;f[769]=12416;f[770]=686482083;f[771]=792861970;f[772]=20320;f[773]=12545;f[774]=562467585;f[775]=824643127;f[776]=873568555;f[777]=289679775;f[778]=15811;f[779]=126699245;f[780]=517585453;f[781]=80194428;f[782]=302914607;f[783]=959897208;f[784]=9112574;f[785]=263391723;f[786]=371078861;f[787]=13002;f[788]=21168;f[789]=742114163;f[790]=650995270;f[791]=433541506;f[792]=724438873;f[793]=682343776;f[794]=16467;f[795]=2185994;f[796]=21600;f[797]=13333;f[798]=81385569;f[799]=952901881;f[800]=170768862;f[801]=153870972;f[802]=16800;f[803]=320396310;f[804]=406087068;f[805]=579427728;f[806]=833193940;f[807]=494205098;f[808]=976420385;f[809]=13736;f[810]=509535625;f[811]=13804;f[812]=642419509;f[813]=976765784;f[814]=26683670;f[815]=855753189;f[816]=576240377;f[817]=476351470;f[818]=17476;f[819]=626184202;f[820]=795515423;f[821]=14145;f[822]=814011073;f[823]=14214;f[824]=905536183;f[825]=43630219;f[826]=141227885;f[827]=14352;f[828]=736405228;f[829]=14421;f[830]=832512453;f[831]=511841099;f[832]=324425848;f[833]=546181775;f[834]=23677747;f[835]=691713808;f[836]=175324608;f[837]=322020648;f[838]=18340;f[839]=14770;f[840]=767314431;f[841]=637159360;f[842]=18515;f[843]=189167254;f[844]=24274;f[845]=678873291;f[846]=328298371;f[847]=103072287;f[848]=629436117;f[849]=756609450;f[850]=195474478;f[851]=211094749;f[852]=53481170;f[853]=15265;f[854]=31016620;f[855]=568345655;f[856]=487816850;f[857]=15408;f[858]=850175264;f[859]=15480;f[860]=328639424;f[861]=666978539;f[862]=19404;f[863]=15624;f[864]=324264527;f[865]=268194598;f[866]=19584;f[867]=616828971;f[868]=82189470;f[869]=496800197;f[870]=728037434;f[871]=647313682;f[872]=951104277;f[873]=433958153;f[874]=955530808;f[875]=883697445;f[876]=534090545;f[877]=16133;f[878]=20130;f[879]=747373447;f[880]=305347883;f[881]=16280;f[882]=739910174;f[883]=16354;f[884]=526496827;f[885]=951951571;f[886]=20498;f[887]=16502;f[888]=136131504;f[889]=639854892;f[890]=721663891;f[891]=128450027;f[892]=27104;f[893]=450498982;f[894]=915295756;f[895]=162857622;f[896]=456853444;f[897]=839130012;f[898]=21056;f[899]=991045957;f[900]=768095880;f[901]=771039188;f[902]=126859099;f[903]=345818228;f[904]=216816631;f[905]=651349642;f[906]=644141987;f[907]=17252;f[908]=28082;f[909]=241025460;f[910]=847370936;f[911]=17404;f[912]=988882810;f[913]=946433209;f[914]=21812;f[915]=441507462;f[916]=28576;f[917]=237099395;f[918]=862554513;f[919]=17710;f[920]=127568390;f[921]=611272228;f[922]=22195;f[923]=350565947;f[924]=29652432;f[925]=766970575;f[926]=22388;f[927]=256047019;f[928]=396024127;f[929]=18096;f[930]=35461180;f[931]=709833501;f[932]=29580;f[933]=779999326;f[934]=22776;f[935]=541127788;f[936]=796981924;f[937]=18408;f[938]=556093119;f[939]=119924357;f[940]=342870726;f[941]=18565;f[942]=239842981;f[943]=330471863;f[944]=475244359;f[945]=388140789;f[946]=941357867;f[947]=18802;f[948]=207849885;f[949]=400835301;f[950]=869128616;f[951]=918419448;f[952]=140326942;f[953]=19040;f[954]=716536167;f[955]=953643625;f[956]=31120;f[957]=913775800;f[958]=23960;f[959]=171769805;f[960]=365139645;f[961]=769822937;f[962]=383588360;f[963]=669918431;f[964]=31640;f[965]=814482483;f[966]=167763046;f[967]=19602;f[968]=390506098;f[969]=52884710;f[970]=502564403;f[971]=19764;f[972]=234634222;f[973]=686945595;f[974]=24766;f[975]=570319034;f[976]=127176969;f[977]=20008;f[978]=217817386;f[979]=560723938;f[980]=566226326;f[981]=337727721;f[982]=25174;f[983]=20254;f[984]=243933741;f[985]=31248147;f[986]=223225457;f[987]=237502017;f[988]=814899512;f[989]=835294271;f[990]=585935671;f[991]=20584;f[992]=927533220;f[993]=968676492;f[994]=36205524;f[995]=124894767;f[996]=910792481;f[997]=20833;f[998]=26000;f[999]=209273186;f[1000]=523080925;
}
void work(){dp[3]=1;for(int i=4;i<=n;i++){dp[i]=dp[i-1]+(i-1)/2-i/3+(i%3?0:1);if(i%2==0)    dp[i]-=i/4;dp[i]%=mod;if(dp[i]<0)    dp[i]+=mod;}more[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){more[i]=(more[i-1]*2)%mod;for(int j=2;i*j<=n;j++){dp[i*j]-=dp[i];if(dp[i*j]<0)    dp[i*j]+=mod;    }}return ;
}
int main(){freopen("b.in","r",stdin);freopen("b.out","w",stdout);pre();scanf("%d",&n);if(n<=1000){cout<<f[n];return 0;}else{work();for(int i=1;i*i<=n;i++){if(n%i!=0)    continue;ans=(ans+1ll*dp[i]*more[n/i])%mod;if(i*i!=n)ans=(ans+1ll*dp[n/i]*more[i])%mod;    }cout<<ans;}
}

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c
【问题描述】
　　　　　　你是能看到第三题的 friends 呢。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——aoao
　　　　在小学的时候，我们都学过正视图和左视图。现在何大爷用一些小方块摆了
　　一个图形，并给出了你这个图形的左视图和正视图。现在何大爷希望知道，在给
　　定正视图和左视图的情况下，原来的立体图形有多少种可能的情况？
【输入格式】
　　第一行两个整数n,m，代表在左视图和正视图中分别有多少列。
　　第二n个整数，代表在左视图中从左至右每一列的高度。
　　第三行m个整数，代表在正视图中从左至有每一列的高度。
【输出格式】
　　一行一个整数代表答案对10 ⁹ + 9取模之后的值。
【样例输入 1】
　　2 2
　　1 1
　　1 1
【样例输出 1】
　　7
【样例输入 2】
　　4 5
　　5 2 4 1
　　5 2 4 0 1
【样例输出 2】
　　429287
【数据规模与约定】
　　对于20%的数据，1 ≤ n,m ≤ 5，每列的最大高度不超过5。
　　对于40%的数据，n + m ≤ 18。
　　对于100%的数据，1 ≤ n,m ≤ 50，每列最大高度不超过10000。

以下解题思路转自xxy大佬的博客

思路：容斥原理

解决本题的关键：行交换。列交换对答案不影响

将左视图按从下往上递减，正视图从左往右递减排列

那整张图的高度从左下到右上呈阶梯状递减

这样所有高度相同的呈现倒‘L’形，如下图所示蓝色部分

如果我们按高度递减的顺序依次计算每个倒‘L’形的方案数，那么这些倒‘L’形相对独立

答案就是所有倒‘L’形答案的乘积

如何计算单个倒‘L’形的答案？——容斥原理

假设上图为已经按高度排好序的图

设当前正在处理高度为h的倒‘L’形

令nn表示当前有nn行的左视图高度为h，mm表示当前有mm列的主视图高度为h

n表示当前有n行的左视图高度>=h，m表示当前有m列的主视图高度>=h

定义性质pk表示在这nn行mm列中，有k行/列不满足看到的高度为h

那根据容斥原理，

不具有任何一个性质p的方案和=

全集-Σ|pi|+Σ|pi∩pj|-Σ|pi∩pj∩pk|+…+（-1）^m*|p1∩p2∩…∩pm|

也就是所有方案-所有1行/列不满足条件的方案+所有2行/列不满足条件的方案-……

如何求有k行/列不满足条件的方案数？

设现在要求在倒‘L’形中，有i行j列不满足条件的方案数A，i+j=k

那么A分为两部分

① i行j列不能满足条件的部分：

当前高度为h，不能满足条件，每一个各自可以填[0,h-1],每个格子有h种方案

所以此时方案数=h^ （n*m-(n-i)*(m-j)）

② 倒‘L’形中其他位置可以任意填的部分

当前高度为h，任意填就是可以填[0,h]，每个各自有h+1种方案

所以此时的方案数=（h+1）^（(n-i)*(m-j)-(n-nn)*(m-mm)）

这是选定i行j列，所以还要乘上在nn行中选i行，在mm列中选j列的方案

终上所述，每个倒‘L’形的答案为（-1）^（i+j）* C（nn，i）* C（mm，j）* h^ （n*m-(n-i)*(m-j)） * （h+1）^（(n-i)*(m-j)-(n-nn)*(m-mm)）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 10001
#define mod 1000000009
using namespace std;
int n,m;
int c[51][51];
int a[MAXN],b[MAXN];
void pre(int k){for(int i=0;i<=k;i++)    c[i][0]=1;for(int i=1;i<=k;i++)for(int j=1;j<=i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}
int pow(int a,int b){int res=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)if(b&1)    res=1ll*res*a%mod;return res;
}
int cal(int n,int m,int nn,int mm,int h){int res=0,tmp;for(int i=0;i<=nn;i++)for(int j=0;j<=mm;j++){tmp=1ll*pow(h,n*m-(n-i)*(m-j))*pow(h+1,(n-i)*(m-j)-(n-nn)*(m-mm))%mod*c[nn][i]%mod*c[mm][j]%mod;if((i+j)&1)    res=((res-tmp)%mod+mod)%mod;else res+=tmp,res%=mod;}return res;
}
int main(){freopen("c.in","r",stdin);freopen("c.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);a[x]++;}for(int i=1;i<=m;i++){int x;scanf("%d",&x);b[x]++; }pre(max(n,m));long long res=1;int nown=0,nowm=0;for(int i=10000;i>=0;i--)if(a[i]||b[i]){nown+=a[i];nowm+=b[i];res=1ll*res*cal(nown,nowm,a[i],b[i],i)%mod;}cout<<res;
}

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