nonlinear systems 学习笔记

1.基本控制问题/任务：镇定(stabilization)、跟踪(tracking)、扰动抑制(disturbance rejection)，不管是什么问题，控制的目标都是让某个东西收敛于某个东西。针对不同系统有不同的处理方式。

2.镇定问题：设计控制输入使系统稳定工作在原点平衡点origun，这是最标准的定义，当然也可以是使系统稳定在任意一个点x

3,静态反馈和动态反馈：静态反馈是直接反馈状态x，动态反馈是x无法直接测量时构建观测器进行反馈，显然动态反馈实际中更加常见

4.线性时不变系统的镇定问题：

线性时不变系统：

$\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du$

对于这类系统的镇定问题是很简单的，直接给出控制率： $u=-Kx$

然后闭环系统： $\dot{x}=(A-BK)x$

只要矩阵 $A-BK$ 是Hurwitz矩阵，那闭环系统原点就是稳定的

5.非线性系统的镇定问题：

但对于一般的非线性系统，问题是更加困难，处理非线性一般是通过线性化系统，然后将其放在线性系统的框架下解决。

但这只是局部的，也就是说没法保证全局渐进稳定

6.跟踪问题：在扰动下的跟踪问题，设计控制输入使得控制输出可以跟踪上参考信号

7.动力系统：

动力系统（dynamical system）是数学上的一个概念。动力系统是一种固定的规则，它描述一个给定空间（如某个物理系统的状态空间）中所有点随时间的变化情况。

动力系统理论处理动力系统长期的量化特性，因此其重点一般不是找出描述动力系统方程的精确解（多半也很难找到精确解），而是希望可以回答类似以下的问题：“系统会收敛到一个稳定状态吗？若会的话，其稳定状态是什么？”或是“其长期特性和系统的初始值有关吗？”

动力系统理论的重要目的是要找到动力系统的不动点或是稳态，也就是一些使系统状态可以维持定值，不随时间改变的数值。有些不动点称为吸引子，是指若系统的初始值在这些点附近，系统会慢慢趋近吸引子。

8.自治系统：

在数学中，一个动力系统被称为自治（驻定）的，当且仅当这个系统由一组常微分方程组成，并且这些方程的表达式与动力系统的自变量无关。

在有关物理的动力系统中，自变量通常是时间。这时自治系统通常表示其中的物理规律不随时间变化的系统，也就是说空间中每一点的性质在过去、现在和将来都是一样的。

自治系统是动力系统中很重要的一个组成部分。理论上说，所有的动力系统都可以转化为自治系统。

9.微分方程：

微分方程（英语：Differential equation，DE）是一种数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程里，其解是常数值。

微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题[1]:p.1。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

10.单摆：单摆即为一个非线性系统的例子。

11.李雅普诺夫稳定性：

在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（英语：Lyapunov stability，或李亚普诺夫稳定性）可用来描述一个动力系统的稳定性。

李雅普诺夫稳定性可用在线性及非线性的系统中。不过线性系统的稳定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用来分析非线性系统的稳定性。李亚普诺夫稳定性的概念可以延伸到无限维的流形，即为结构稳定性，是考虑微分方程中一群不同但“接近”的解的行为。输入-状态稳定性（ISS）则是将李雅普诺夫稳定性应用在有输入的系统。

12.稳定：如果一个系统（线性或者非线性）稳定，那么它从期望的工作点（desired operating point）附近起始，系统会一直待在该期望工作点附近，而不是远远地偏离所期望的工作点，甚至发散到无穷。

13.almost global stability - 几乎全局稳定

14.梯度：在向量微积分中，梯度（英语：gradient）是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数f在点P上的梯度，是以f在P上的偏导数为分量的向量。梯度是行向量。

梯度是针对光滑标量函数 $h(x):R^n \rightarrow R$ ，其中 $x \in R^n$ ，用一个行向量 $\bigtriangledown h = \frac{\partial h}{\partial x}$ 表示

Gradient是标量对向量的求导，其结果是个行向量。

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