[高维随机矩阵-2] 特征值和特征向量

本系列主要按照《Introduction to random matrices theory and practice》进行，后续不再一一声明。每次使用新资料，都会在第一次使用时声明，后续也不再一一生明。

1. 本书目标读者是绝对的零基础人员。

2.随机矩阵理论random matirx theory，RMT

3.本书代码地址 https://github.com/RMT-TheoryAndPractice/RMT

4.随机矩阵：矩阵，它的元素是随机变量。用处很大，任何用矩阵表示的数据，都可以用随机矩阵重新解决。

5.randn函数，产生一个矩阵，这个矩阵的每个元素，是均值为0方差为1的正态分不。

在octave的命令行输入 “M1=rand(2)”，返回结果是：

M1 =1.64246   0.59412-0.60207   0.71315

返回的矩阵是非对称矩阵，也就是M1 != M1'

6.非对称矩阵的特征值是通常是复数

octave:54> M1 = randn(4)
M1 =0.170746  -1.035108   0.874622  -0.5724690.877188  -0.891650   1.154257  -1.806621-0.608013   0.311244   1.302612   1.0832051.015893  -0.381873  -2.076392  -0.030389octave:55> [V, LAMBDA] = eigs(M1)
V =-0.40280 - 0.41726i  -0.40280 + 0.41726i   0.03448 + 0.39752i   0.03448 - 0.39752i-0.73885 + 0.00000i  -0.73885 - 0.00000i   0.66694 + 0.00000i   0.66694 - 0.00000i0.11471 - 0.20462i   0.11471 + 0.20462i   0.11483 + 0.34871i   0.11483 - 0.34871i0.06845 + 0.24089i   0.06845 - 0.24089i  -0.49782 + 0.11563i  -0.49782 - 0.11563iLAMBDA =Diagonal Matrix-0.42527 + 1.40406i                    0                    0                    00  -0.42527 - 1.40406i                    0                    00                    0   0.70093 + 0.81311i                    00                    0                    0   0.70093 - 0.81311i

其中，V是特征向量。LMBDA是特征值。能看出特征值是复数。

7.对称矩阵的特征值通常是实数

octave:123> M1 = randn(3)
M1 =0.125970  -0.480814   0.639831-0.732083   1.552481   0.0872731.740238   2.072610  -0.225293octave:124> M1 = (M1+M1')/2
M1 =0.12597  -0.60645   1.19003-0.60645   1.55248   1.079941.19003   1.07994  -0.22529octave:125> eig(3)
ans =  3
octave:126> [V, LAMBDA] = eig(M1)
V =-0.588720   0.807741  -0.031024-0.350775  -0.220707   0.9100800.728262   0.546665   0.413270LAMBDA =Diagonal Matrix-1.7075        0        00   1.0971        00        0   2.0636

8. GOE:Gaussian Orthogonal Ensemble，高斯正交系综。（具有统计独立的实或复矩阵系综H，在基变换下分布具有不变性，如果变换是正交的(orthogonal)、酉的(unitary)或辛的(symplectic)，则分别得到高斯正交系综(GOE)，高斯酉系综(GUE)或高斯辛系综(GSE)）。

9.要注意的问题，矩阵、特征向量、特征值三者之间的关系是M*V = LAMBDA* V，但在ectave验证这个关系时，有左右方向问题，实际计算按照M*V=V*LAMBDA进行，因为LAMBDA是特征值对角阵：

生成3x3矩阵M1 =-1.207738   1.668317   1.276581-0.039147   1.698229  -0.825517-0.035371  -0.632647  -1.157629对称化,M1 = (M1+M1')/2M1 =-1.20774   0.81459   0.620600.81459   1.69823  -0.729080.62060  -0.72908  -1.15763计算特征向量和特征值, [V, LAMBDA] = eig(M1)V =-0.698040  -0.685042   0.2084650.275370   0.011927   0.9612640.660993  -0.728406  -0.180315LAMBDA =Diagonal Matrix-2.11675         0         00  -0.56203         00         0   2.01165M1*Vans =1.4775773   0.3850154   0.4193568-0.5828899  -0.0067033   1.9337235-1.3991588   0.4093869  -0.3627292LAMBDA*Vans =1.4775773   1.4500651  -0.4412678-0.1547666  -0.0067033  -0.54026081.3296841  -1.4652941  -0.3627292V*LAMBDAans =1.4775773   0.3850154   0.4193568-0.5828899  -0.0067033   1.9337235-1.3991588   0.4093869  -0.3627292

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