世界坐标系，相机坐标系，像素坐标系，相机内外参说明

世界坐标系指的是系统的绝对坐标，原点是固定的。

相机坐标就是世界坐标根据相机的当前位姿变换到相机坐标系下的结果。
这个相机位姿包含了旋转矩阵R和平移向量t。相机位姿R，t称为相机外参。

像素坐标与成像平面的区别就是，像素坐标的原点在图像的左上角，它与成像平面之间相差了一个缩放和一个原点的平移。

再说相机内参，只需要知道它是一组参数(fx, fy, cx, cy)，其中fx, fy, cx, cy单位都是像素，具体什么意义后面解释。

相机外参由于是相机的位姿，它会随着相机的运动而改变，但是相机内参是不变的。
相机外参的估计可以用视觉里程计，
相机内参在相机出厂之后是固定的，有的生产厂商会告诉你相机内参，有时需要自己标定（如棋盘格标定法）。

下面以针孔模型相机来说明上面这些概念的关系。

上面的P是相机坐标系下的坐标(X, Y, Z)。
经过小孔O投影之后到成像平面O’-x’-y’上的点P’, P’的坐标为[X’, Y’, Z’]。

小孔成的是倒像，所以Zf=−XX′=−YY′\frac{Z}{f} = -\frac{X}{X'} = -\frac{Y}{Y'}fZ=−X′X=−Y′Y，其中fff表示焦距。
因为实际相机得到的图像并不是倒像，把负号去掉，得到
Zf=XX′=YY′\frac{Z}{f} = \frac{X}{X'} = \frac{Y}{Y'}fZ=X′X=Y′Y

整理一下，得到
X′=fXZX' = f\frac{X}{Z}X′=fZX, Y′=fYZY' = f\frac{Y}{Z}Y′=fZY (1)

(X, Y, Z)和(X’, Y’)这俩坐标的单位可以理解为米，
不过在相机中我们最终获得的是一个个的像素，

所以成像平面上固定着一个像素平面o-u-v,
记着了，像素坐标用[u, v]表示，成像平面上是[X’, Y’]。

像素坐标系的原点在图像的左上角，
u轴与x轴平行，v轴与y轴平行，
像素坐标与成像平面之间，相差了一个缩放和一个原点的平移，
设在u轴上缩放了α\alphaα倍，v轴上缩放了β\betaβ倍，
所以呢，得到
u=αX′+cxu = \alpha X' + c_{x}u=αX′+cx, v=βY′+cyv = \beta Y' + c_{y}v=βY′+cy

把上面(1)式代进来，
同时，令fx=αff_{x} = \alpha ffx=αf fy=βff_{y} = \beta ffy=βf, 得到

u=fxXZ+cxu = f_{x}\frac{X}{Z} + c_{x}u=fxZX+cx, v=fyYZ+cyv = f_{y}\frac{Y}{Z} + c_{y}v=fyZY+cy （2）

好了，这个式子足够用了，其中(fx, fy, cx, cy)就是相机内参。
当你知道一个点的三维坐标（相机坐标系下，Z是深度），用上面的(2)式就可以求出它在图像中的像素坐标。

那相机外参（R, t）有什么用呢，举个例子吧，
现在有相机1（R1, t1）拍下的i图像mg1，
然后有一个不同视角的相机2（R2, t2）拍下了图像img2,
已知img1中的一个特征点p1，那这个p应该对应img2的哪个点呢（怎么找到p2)。

首先利用(R1, t1）把p1转到世界坐标系，
再用(R2, t2)把世界坐标转为相机2下的p2坐标。
具体怎么转换，又是另外一个话题了。

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