Sobel算子的数学基础

图像处理及机器视觉应用中的Sobel算子，是以它的提出者Irwin Sobel名字命名的。该算子没有在任何期刊或会议上正式发表过，当时仅在Stanford大学人工智能项目组的一个非正式的博士生讨论组会上与Gary Feldman（当时的一个在读研究生，也是Sobel的朋友）共同提出。Irwin Sobel还曾专门撰文申明，建议把Sobel算子的命名改成“Sobel-Feldman”算子[1-2]。

Sobel算子考虑了水平、垂直和2个对角共计4个方向对的梯度加权求和，是一个3×3各向异性的梯度算子。另外，大部分教科书停留在对算子的直观解释上，一般描述为隔行或隔列的差分运算，然后做中心像素位置的2倍加权。实际上，并不是现行教科书上描述的简单的隔行/列的差分运算，中心像素位置也并未参与运算（N8(p)邻域，非3×3邻域）。

Sobel算子具有严格的数学基础，主要关键点在于：

1）笛卡尔网格（Cartesian grid）；

2）前向差分（Forward-difference）；

3）距离反比的4方向对梯度加权；

4）城市距离（City-block distance）。

定义一个给定邻域方向梯度矢量g的幅度为

|g| = <像素灰度差分>/<相邻像素的距离>

Sobel采用的像素距离是一种城市距离（city-block），而并非通常的欧式距离。因此，对角方向相邻像素之间的距离值为2。

矢量'g'的方向可以通过中心像素“z5” 相关邻域的单位矢量给出，这里的邻域是对称出现的，即四个方向对： (z1, z9) ，(z2, z8)， (z3, z7)， (z6, z4)。沿着4个方向对上求其梯度矢量和，可以给出当前像素(z5)的平均梯度估计，则有

G = (z3-z7)/4 * [1, 1]+ (z1-z9)/4 * [-1, 1]+ (z2-z8)/2 * [0, 1]+ (z6-z4)/2 * [1, 0]

式中, 4个单位向量 [1, 1]，[-1, 1]，[0, 1], [1, 0] 控制差分的方向，系数1/4, 1/2为距离反比权重。

上式展开后，有

G = [(z3- z7- z1+ z9)/4 + (z6-z4)/2, (z3- z7+ z1- z9)/4 + (z2-z8)/2]

注意，上述公式里并没有求平方根。如果要求数字上的精确度，上式需要除以4得到平均梯度值。然而，一些典型的运算都是针对数值较小的整数的定点运算，除法会丢失低阶的重要字节, 更方便的是把向量乘于4，而不是除于4，以保留低阶字节。因此，计算出的估计值比平均梯度在数值上扩大了16倍。

这样，计算公式变为：

G' = 4*G

= [z3 - z7- z1+ z9 + 2*( z6 - z4), z3 - z7 + z1- z9 + 2*( z2-z8)]

= [z3 + 2*z6 + z9 - z1 - 2*z4-z7, z1 + 2*z2 + z3 - z7 - 2*z8 - z9]

按x-y方向，可分别写成：

G'x = (z3 + 2*z6 + z9) - (z1 + 2*z4 + z7)

G'y = (z1 + 2*z2 + z3) - (z7 + 2*z8 + z9)

以上式子，就与我们教科书上的表达式完全一致了，也很容易得出如图1所示的两方向Sobel算子模板。在邻域像素距离模型上，如果改用欧式距离，就不难得到Frei和Chen（1991）提出的边缘检测器了[3]。

另外，教科书上的一些经典滤波器，其实也都有它的计算模型，而不是人为的随意构建，如高斯(Gaussian)滤波器，拉普拉斯(Laplacian)滤波器，LoG滤波器等。

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