随机变量不相关却不一定独立
原文:https://www.zhihu.com/question/26583332/answer/33330386
(X,Y) 均匀分布在单位元 x^2 + y^2 = 1上
<img src="https://pic1.zhimg.com/50/1226d3f907b09cd1aed77e09ea5d0496_hd.jpg" data-rawwidth="200" data-rawheight="204" class="content_image" width="200"> X和Y的(线性)相关系数是0。(为什么呢?直观来说,因为是个圆,如果你画一条线性回归的线,线的斜率是正的还是负的都不合适,因为是对称的。数学上)
因为
E(X|Y) = E(Y|X) = 0
所以
E(X) = E(Y) = 0,而且
E(XY) = E[E(XY|X)] = E[X E(Y|X) ] = 0
所以
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0
但是X,Y 不是独立的,因为Y的取值对于X的取值分布是影响的
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