考研数学 - 初数基础整理02

比与比例的定义

比：两个数相除，称为这两个数的比，即a:b=a/b, 相除所得的商叫做比值，记作 a:b=a/b=k。在实际应用中常将比值用百分数表示，称为百分比。
比例：相等的比，称为比例, 记作：a:b=c:d 或 a/b = c/d. 其中a和d称为比例外项，b和c称为比例内向。
当a:b=b:c时，称b为a和c的比例中项，显然当a,b,c均为正数时，b是a和c的几何平均值。
正比：若y=kx（k不为0），则称y与x成正比，k称为比例系数。
反比：若y=k/x（k不为0），则称y与x成反比，k称为比例系数。

比与比例的性质

比的基本性质： a:b = k <=> a = kb; a:b = ma:mb (m≠0)
比例的基本性质：a:b = c:d <=> b:a = d:c <=> b:d = a:c <=> d:b = c:a

比例的基本定理

更比定理： a/b = c/d <=> a/c = b/d
反比定理： a/b = c/d <=> b/a = d/c
合比定理： a/b = c/d <=> (a+b)/b = (c+d)/d
分比定理： a/b = c/d <=> (a-b)/b = (c-d)/d
等比定理： a/b = c/d = e/f => (a+c+e)/(b+d+f) = a/b(b+d+f≠0)

算术平均值

几何平均值

注意：几何平均值只对正实数有定义，而算术平均值对任何实数都有定义。

平均值相关定理

基本定理

常用的基本不等式

配套练习

02-14：x,y的算术平均值是2，几何平均值也是2，则 1/√x 与 1/√y的几何平均值是？

A. 5 B.√2 C.√2/3 D.√2/2 E.以上均不正确

解析过程如下图：

实数的绝对值的定义

实数a的绝对值定义为：

绝对值的几何意义

实数a在数轴上对应一点，这个点到原点的距离就是a的绝对值：

绝对值的性质

非负性

任何实数a的绝对值非负，即|a| >= 0

归纳：所有非负性的变量
1. 正的偶数次方(或根式) : a^2, a^(1/4) >=0
2. 负的偶数次方(或根式) : a^(-2), a^(-1/4) >0

规则：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。
例如：若 |a| + b^2 + √c = 0, 则 a = b = c = 0

对称性

互为相反数的两个数的绝对值相等，即 |-a| = |a|

自比性

实数a在数轴上对应一点，这个点到原点的距离就是a的绝对值：

自比性问题的关键是判断符号，因此需要掌握以下几个表达式

abc > 0, 说明a,b,c中有三正或两负一正
abc < 0, 说明a,b,c有三负或两正一负
abc = 0, 说明a,b,c中至少有一个为0

等价性

|a| = √(a^2)
|a|^2 = a^2
常用等价性质来去除”| |”

绝对值不等式性质与运算法则

|a|<=b (b>0) <=> -b <= a <= b
|a|>=b (b>0) <=> a<=-b 或 a >= b
|a*b| = |a| * |b|

三角不等式

|a+b| <= |a| + |b| (ab >=0时等号成立)
|a| - |b| <= |a+b| (ab<=0且|a|>=|b|时等号成立)
|a-b| <= |a| + |b| (ab <=0 时等号成立)
|a|-|b| <= |a-b| (ab>=0且|a|>=|b|时等号成立)

一些图像类归类总结

02-22：对形如：y=|x-a| + |x-b|形式的图像：

总结如下：

02-23：对形如：y=|x-a| - |x-b|形式的图像：

总结如下：

02-24：对形如：y=|x-a| + |x-b| + |x-c| 形式的图像：

总结如下：