蓝桥杯2014年省赛[第五届]-JavaB组赛题解析
参考蓝桥杯官网给出的赛题和官方给出的代码。
蓝桥杯官方讲解视频：https://www.lanqiao.cn/courses/2737
时间：4小时
A.武功秘籍[填空]
1.题目描述
小明到X山洞探险，捡到一本有破损的武功秘籍（2000多页！当然是伪造的）。他注意到：书的第10页和第11页在同一张纸上，但第11页和第12页不在同一张纸上。
小明只想练习该书的第81页到第92页的武功，又不想带着整本书。请问他至少要撕下多少张纸带走？
这是个整数，请通过浏览器提交该数字，不要填写任何多余的内容。
2.简要分析
- 10页和11页在一张纸上，说明书的每一页都是从偶数页开始，奇数页结束。
- 那么81页到90页需要撕下的纸有：
80/81 - 82/83 - 84/84 - 86/87 - 88/89 - 90/91 - 92/93
共7张纸。
如果写段代码，可以判断所有情况的纸张数。
- a,b两个数都是偶数：ans=(b-a)/2+1
- a,b两个数都是奇数：ans=(b-a)/2+1
- a是偶数，b是奇数：ans=(b-a+1)/2
- a是奇数，b是偶数：ans=(b-a+1)/2+1
3.代码解法
public class _01武功秘籍{public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);int a=sc.nextInt();int b=sc.nextInt();int ans;if(a%2==0&&b%2==0) {ans=(b-a)/2+1;}else if(a%2!=0&&b%2!=0) {ans=(b-a)/2+1;}else if(a%2==0&&b%2!=0) {ans=(b-a+1)/2;}else {ans=(b-a+1)/2+1;}System.out.println(ans);}
}4.答案
7
B.切面条[填空]
1.题目描述
一根高筋拉面，中间切一刀，可以得到2根面条。
如果先对折1次，中间切一刀，可以得到3根面条。
如果连续对折2次，中间切一刀，可以得到5根面条。
那么，连续对折10次，中间切一刀，会得到多少面条呢？
答案是个整数，请通过浏览器提交答案。不要填写任何多余的内容。
2.简要分析
- 可以想象一下去理解：假设第i次对折后中间切一刀得到了n根面条，那么第i+1次对折后切一刀的次数就等于2*n-1。
- 无法理解的可以多写几个出来，找一下规律：
0-2 1-3 2-5 3-9
- 也可以发现
f(i)=2*f(i-1)-1的递推公式。 - 这其实也是一种简单的动态规划。
3.实现代码（简单动态规划）
public class _02切面条 {public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);int count=sc.nextInt();if(count==0){System.out.println(2);}if(count==1){System.out.println(3);}int[] nums=new int[count+1];nums[0]=2;nums[1]=3;for(int i=2;i<=count;i++){nums[i]=2*nums[i-1]-1;}System.out.println(nums[count]);}
}
4.答案
1025
C.猜字母[填空]
1.题目描述
把abcd…s共19个字母组成的序列重复拼接106次，得到长度为2014的串。
接下来删除第1个字母（即开头的字母a），以及第3个，第5个等所有奇数位置的字母。
得到的新串再进行删除奇数位置字母的动作。如此下去，最后只剩下一个字母，请写出该字母。
答案是一个小写字母，请通过浏览器提交答案。不要填写任何多余的内容。
2.简要分析
- 按照题目的过程模拟即可。
3.实现代码（模拟）
public class _03猜字母 {public static void main(String[] args) {char[] a = new char[2014];int index=0;for (int i = 0; i < 106; i++) {for (int j = 0; j < 19; j++) {a[index++] = (char)('a'+j);}}int len = 2014;while(len!=1) {int k = 0;for (int i = 1; i < len; i += 2) {a[k++] = a[i];}len = k;}System.out.println(a[0]);//q}
}4.答案
q
D.大衍数列[代码填空]
1.题目描述
中国古代文献中，曾记载过“大衍数列”, 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。
它的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50 …
其规律是：对偶数项，是序号平方再除2，奇数项，是序号平方减1再除2。
以下的代码打印出了大衍数列的前 100 项。
for(int i=1; i<100; i++)
{if(________________) //填空System.out.println(i*i/2);elseSystem.out.println((i*i-1)/2);
}
请填写划线部分缺失的代码。通过浏览器提交答案。
注意：不要填写题面已有的内容，也不要填写任何说明、解释文字。
2.简要分析
- 签到题。
- 看完这道题，感觉智商受到了侮辱，哈哈哈哈哈。
3.实现代码
public class _04大衍数列 {public static void main(String[] args) {for (int i = 1; i < 100; i++) {if (i % 2 == 0) //填空System.out.println(i * i / 2);elseSystem.out.println((i * i - 1) / 2);}}
}
4.答案
i % 2 == 0
E.圆周率[代码填空]
1.题目描述
数学发展历史上，圆周率的计算曾有许多有趣甚至是传奇的故事。其中许多方法都涉及无穷级数。
图1.png中所示，就是一种用连分数的形式表示的圆周率求法。
下面的程序实现了该求解方法。实际上数列的收敛对x的初始值 并不敏感。
结果打印出圆周率近似值（保留小数点后4位，并不一定与圆周率真值吻合）。
double x = 111;for(int n = 10000; n>=0; n--){int i = 2 * n + 1;x = 2 + (i*i / x);}System.out.println(String.format("%.4f", ______________));
请填写划线部分缺失的代码。通过浏览器提交答案。
注意：不要填写题面已有的内容，也不要填写任何说明、解释文字。
2.简要分析
- 读懂代码，发现最后4/π=1+x。
3.实现代码
public class _05圆周率 {public static void main(String[] args) {double x = 111;for (int n = 10000; n >= 0; n--) {int i = 2 * n + 1;x = 2 + (i * i / x);}//x=2+1/x'System.out.println(String.format("%.4f", 4 / (x - 1)));}
}
4.答案
4 / (x - 1)
F.奇怪的分式[填空]
1.题目描述
上小学的时候，小明经常自己发明新算法。一次，老师出的题目是：
1/4 乘以 8/5
小明居然把分子拼接在一起，分母拼接在一起，答案是：18/45 （参见图1.png）
老师刚想批评他，转念一想，这个答案凑巧也对啊，真是见鬼！
对于分子、分母都是 1~9 中的一位数的情况，还有哪些算式可以这样计算呢？
请写出所有不同算式的个数（包括题中举例的）。
显然，交换分子分母后，例如：4/1 乘以 5/8 是满足要求的，这算做不同的算式。
但对于分子分母相同的情况，2/2 乘以 3/3 这样的类型太多了，不在计数之列!
注意：答案是个整数（考虑对称性，肯定是偶数）。请通过浏览器提交。不要书写多余的内容。
2.简要分析
- 只需要枚举所有可能的个位数分数相乘情况即可。
- 最好的办法是判断原来的分数约分后是否等于结果分数约分后。
3.注意事项
- 分数的分子分母不能相同。
- 不能简单的使用double类型进行除法运算，会因为精度的问题，导致下面两个式子不成立：
若double类型进行运算
(1/9)*(9/5)==19/95
左边=0.19999999999999998
右边=0.2
判定不相等
(2/6)*(6/5)==26/65
左边=0.39999999999999997
右边=0.4
判定不相等
- 这种情况也可以通过对double类型的16位四舍五入解决，或用大浮点数解决，不过较为麻烦。
4.实现代码（约分后判等）
public class _06奇怪的分式 {private static int ans;public static void main(String[] args) {for (int a = 1; a < 10; a++) {for (int b = 1; b < 10; b++) {if (a == b) continue;for (int c = 1; c < 10; c++) {for (int d = 1; d < 10; d++) {if (c == d) continue;int gcd1 = gcd(a * c, b * d);int gcd2 = gcd(a * 10 + c, b * 10 + d);if (a * c / gcd1 == (a * 10 + c) / gcd2 && b * d / gcd1 == (b * 10 + d) / gcd2){ans++;System.out.printf("(%d/%d)*(%d/%d)==%d%d/%d%d\n",b,a,d,c,b,d,a,c);}}}}}System.out.println(ans);}private static int gcd(int a, int b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}
}
5.答案
5
G.扑克序列[填空]
1.题目描述
A A 2 2 3 3 4 4， 一共4对扑克牌。请你把它们排成一行。
要求：两个A中间有1张牌，两个2之间有2张牌，两个3之间有3张牌，两个4之间有4张牌
请填写出所有符合要求的排列中，字典序最小的那个。
例如：22AA3344 比 A2A23344 字典序小。当然，它们都不是满足要求的答案。
请通过浏览器提交答案。“A”一定不要用小写字母a，也不要用“1”代替。字符间一定不要留空格。
2.简要分析
- 带重复元素的全排列问题。
- 对这些字符进行全排列，筛选满足条件的字符。
- 由于最后需要取字典序最小的，并且全排列会有重复的情况出现，所以采用Set集合存储结果字符串，去重，排序。
- 由于所有的牌都只有两张，所以可以很快的使用
lastIndexOf和indexOf判断两张一样牌的位置，从而进行校验。
3.实现代码（全排列+校验）
public class _07扑克排序 {static Set<String> set = new HashSet<String>();public static void main(String[] args) {char[] a = {'A', 'A', '2', '2', '3', '3', '4', '4'};f(a, 0);for (String s : set) {System.out.println(s);}}private static void f(char[] a, int k) {if (k == a.length) {String s = new String(a);if (check(s))//System.out.println(s);set.add(s);}for (int i = k; i < a.length; i++) {char t = a[k];a[k] = a[i];a[i] = t;f(a, k + 1);t = a[k];a[k] = a[i];a[i] = t;}}private static boolean check(String s) {if (s.lastIndexOf('A') - s.indexOf('A') == 2 &&s.lastIndexOf('2') - s.indexOf('2') == 3 &&s.lastIndexOf('3') - s.indexOf('3') == 4 &&s.lastIndexOf('4') - s.indexOf('4') == 5)return true;return false;}
}
4.答案
2342A3A4
H.分糖果
1.题目描述
有n个小朋友围坐成一圈。老师给每个小朋友随机发偶数个糖果，然后进行下面的游戏：
每个小朋友都把自己的糖果分一半给左手边的孩子。
一轮分糖后，拥有奇数颗糖的孩子由老师补给1个糖果，从而变成偶数。
反复进行这个游戏，直到所有小朋友的糖果数都相同为止。
你的任务是预测在已知的初始糖果情形下，老师一共需要补发多少个糖果。
【格式要求】
程序首先读入一个整数N(2<N<100)，表示小朋友的人数。
接着是一行用空格分开的N个偶数（每个偶数不大于1000，不小于2）
要求程序输出一个整数，表示老师需要补发的糖果数。
例如：输入
3
2 2 4
程序应该输出：
4
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 1000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
2.简要分析
模拟发糖果的过程：
- 在每一轮分发中，对某一位同学而言，该同学糖果数量会减少一半，同时会加上右边同学给的糖果。如果此时该同学的糖果数为奇数，则还需要老师给一个糖果。
- 每一轮完毕后检查糖果数量是否相等。
- 要注意数组中最后一个元素的特殊性。（需要单独拿出来做上述过程）
3.实现代码（模拟）
public class _08分糖果 {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int[] a = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {a[i] = sc.nextInt();}int ans = 0;while (true) {int t = a[0];for (int i = 0; i <= n - 2; ++i) {a[i] -= a[i] / 2;a[i] += a[i + 1] / 2;if ((a[i] & 1) == 1) {ans++;a[i]++;}}a[n - 1] -= a[n - 1] / 2;a[n - 1] += t / 2;if ((a[n - 1] & 1) == 1) {ans++;a[n - 1]++;}if (check(a, n)) {System.out.printf("%d\n", ans);return;}}}private static boolean check(int[] a, int n) {int t = a[0];for (int i = 1; i < n; ++i) {if (a[i] != t) return false;}return true;}
}
I.地宫取宝
1.题目描述
X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。
【数据格式】
输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2
再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
2.简要分析
看到迷宫，二维矩阵这些字眼，就应该知道，是老DFS了。
再细读题目，理解这些走迷宫的约定：
- 只能向右或向下行走。
- 走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
- 求的是能获得这些宝物的可能走法数。
按照普通的DFS做的话，因为递归树达到了50层，大概率会超时，所以我们需要进行记忆化搜索。记忆什么呢？记忆每一步走的状态，这个状态应该包括，在一个点手中的宝物数以及宝物的最大价值。如果这两个条件也相等，那么可以认为这两步的状态也相等。
我们无妨取向量
cache[i][j][k][m]表示走到[i][j]位置时， 手里宝物的最大价值为k，手中共有m件宝物的可能数。其余就是DFS细节方面的处理了，具体看代码。
3.实现代码（DFS记忆化搜索）
public class _09地宫取宝 {private static final int MOD = 1000000007;static int[][] data;private static int n;private static int m;private static int k;public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextInt();m = sc.nextInt();k = sc.nextInt();data = new int[n][m];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {data[i][j] = sc.nextInt();}}//初始化状态向量for (int i = 0; i < 51; i++) {for (int j = 0; j < 51; j++) {for (int l = 0; l < 14; l++) {for (int o = 0; o < 14; o++) {cache[i][j][l][o] = -1;}}}}long ans = dfs(0, 0, -1, 0);System.out.println(ans);}//状态向量static long[][][][] cache = new long[51][51][14][14];private static long dfs(int x, int y, int max, int cnt) {//如果这个状态之前被计算过 -- 记忆化搜索if (cache[x][y][max + 1][cnt] != -1) return cache[x][y][max + 1][cnt];//走到边界或者手中宝贝数大于k了，返回0if (x == n || y == m || cnt > k) return 0;//暂时保存当前格子上宝贝的价值int cur = data[x][y];int ans = 0;//走到了迷宫出口if (x == n - 1 && y == m - 1) {if (cnt == k || (cnt == k - 1 && cur > max)) return 1;return ans;}//当前宝贝价值比之前所有宝贝价值都大if (cur > max) {ans += dfs(x, y + 1, cur, cnt + 1);ans += dfs(x + 1, y, cur, cnt + 1);}ans += dfs(x, y + 1, max, cnt);ans += dfs(x + 1, y, max, cnt);//结果取模cache[x][y][max + 1][cnt] = ans % MOD;return ans;}
}
J.矩阵翻硬币
1.题目描述
明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 ix 行，第 jy 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
【数据格式】
输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
【样例输入】
2 3
【样例输出】
1
【数据规模】
对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于100%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
2.简要分析
这个题的难点有两个，第一个是难以读懂题意，第二个是读懂的题意也比较有挑战性。
一步步的分析题目，来读懂题意：
- 对硬币有一个Q操作，小明对所有硬币都进行一次Q操作后，所有的硬币都变成了正面。求之前反面向上的硬币数有多少。
- 乍一看，咋回事啊？所有硬币都变成了正面和之前反面向上的硬币数有什么关系嘛？
- 细细思考一下，一个硬币无非正反两面，现在通过了若干次操作，将所有硬币都变成了正面，说明什么？说明正面向上的硬币都翻转了偶数次，所以还是正面向上。反面向上的硬币翻转了奇数次，所以也变成了正面向上。
- 于是问题就可以简化为n*m的矩阵中，对每一个硬币进行一次Q操作，最后次数为奇数的硬币有多少？
- 接下来，就是要理解这个Q操作了，单独看一次Q操作，意思就是使得x的整数倍行都翻转，y的整数倍都翻转。
- 现在假设所有硬币都进行了一次Q操作，那么里面某一个硬币
(x,y)翻转次数是多少呢？ - 那就得看x是前面多少个数的整数倍，y是前面多少个数的整数倍，并且二者应该相乘。因为是二维关系。
- 反过来看，那就是，x的真因子个数*y的真因子个数。
- 现在要使得
x的真因子个数*y的真因子个数为奇数，那么只有奇数*奇数=奇数。 - 也就是说x的真因子个数为奇数，y的真因子个数为奇数。
- 我们知道，只有平方数的真因子个数恰好为奇数个，也就是说，x是一个平方数，y是一个平方数。
- 那么问题就可以再度简化为，
(1,m]中的平方数个数*(1,n]中平方数个数。 - 一个数中的平方数有多少个呢？是这个数开根号向下取整。
- 现在问题来到了，
sqrt(m)*sqrt(n)。
经过上面的题意理解，最初的问题已经简化了。
现在困难的点来了，m和n最长可以是1001位的整数，求这两个的平方根，就是大数开方了。
我们可以采取试探法进行开方。
如果m是偶数，那么m的平方根的长度是m的一半。
如果m是奇数，那么m的平方根长度是m的一半向下取整加1.
针对这个长度的数，逐个的试探，最终找到m的平方根向下取整的数。
3.实现代码（试探法大数开方）
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);String s1 = sc.next();String s2 = sc.next();System.out.println(sqrt(s1).multiply(sqrt(s2)));}private static BigInteger sqrt(String s) {int length = s.length();int len = 0;if (length % 2 == 0)len = length / 2;elselen = length / 2 + 1;char[] sArr = new char[len];Arrays.fill(sArr, '0');BigInteger target = new BigInteger(s);for (int pos = 0; pos < len; pos++) {for (char c = '1'; c <= '9'; c++) {sArr[pos] = c;//在pos这个位置上试着填入1-9BigInteger pow = new BigInteger(String.valueOf(sArr)).pow(2);//平方if (pow.compareTo(target) == 1)//试探数的平方更大{sArr[pos] -= 1;break;}}}return new BigInteger(String.valueOf(sArr));}
}
总结
总的来说，简单的题有点小的思维还是好做，难的题还是有一定的难度。
前六题很简单，第七题需要对全排列很熟悉，第八题需要考虑周全，第九题需要对记忆化DFS的实现非常熟悉，第十题需要一定的数学知识，以及大数开方的技巧。
主要的考点如下：
- 1.思维理解。
- 2.数组元素的调整。
- 3.分数相等的判断。
- 4.含重复元素的全排列。
- 5.过程模拟。
- 6.记忆化DFS。
- 7.数学思维。
- 8.大数开方（试探法）。
填空类题着重考察思维和细心。
编程题着重考察对经典算法的实际应用。
ATFWUS Writing 2021-1-23
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