网络流问题以及EK算法复杂度分析

一、网络流算法

通过一个例子引入网络流问题。
现有一个自来水厂要往家里通水，自来水厂用Vs表示，家用Vt表示。从自来水厂到家之间连接了很多水管，并且中途经过很多转接点。每根水管都有粗细，通过水管的水流量有个上界，超过则会撑爆水管。现在问：从自来水厂防水到家里，一共能够汇集多少水。这就是网络流的最大流问题。

网络流问题：从源点(Vs)到汇点(Vt）所经过的所有路径，最终到达汇点的所有流量之和。
网络流算法就是为了求解最大流问题。
对于一个流网络G = (V, E), 容量函数为c，源点为Vs，汇点为Vt，G的可行流f满足如下三个性质：

容量限制：对所有的u，v∈V，要求f(u,v)<=c(u,v)。
反对称性：对所有的u，v∈V，要求f(u,v)=-f(v,u)。
流守恒性：对所有u∈V-{s,t}，要求∑f(u,v)=0 (v∈V)。

二、增广路定理

定义每条边(u,v)有一个容量c(u,v)，流量 f(u,v), 残量r(u,v) = c(u,v)-f(u,v).
r(u, v) 构成残留网络。在残量网络上寻找到一条可行流，称为增广路。
当残留网络中没有增广路时，网络流达到最大流。
下面我们通过几张图来看一下找可行流的过程。
（1）首先这是一张网络流图。

（2）假设我们找到一条可行流：1——2——3——4，流量为2，所以在这几条边上的容量变为0。

这个时候我们发现在图中再也找不到可行流了。也就是最大流为2。
但是如果我么选择的是1——2——4和1——3——4两条可行流，那么最大流应该是2+1=3，所以这个时候我们需要有办法重新分配流量的路线。
这就引入了网络流算法的精髓之处：增加反向边。
（3）增加反向边

（3）增加反向边之后，找到路径：1——3——2——4.流量为1，最大流为2+1=3.

关于为什么要增加反向边，很多博客里写的都是那句话，“给程序一个反悔的机会，把分错的流量撤销后进行重新分配。”
这样说其实不好理解。很多人可能会冒出和我一样的问题，就是为什么可以平白无故增加反向边，认为流量可以逆流。
我个人的理解是，流量不是逆流，我们是在找一种新的分配方式，就是流量如果有两个出口，我们可以对两个出口进行分配。如果我们把2的流量（2份）全部分配到3，不是最优解，所以我们就得尝试分1份分配到3，剩下一份继续分配，发现可以分配到4。所以汇集到4的流量，1份来源于2流出流量的再分配（1份到3再到4，另一份直接到4），还有一份来源于3。

三、Edmons-karp算法（EK算法）

从源点开始，用BFS找一条最短的增广路径，计算该路径上的残量最小值，累加到最大流值；
沿着该路径修改流量值，实际是修改是残量网络的边权；
重复上述步骤，直到找不到增广路时，此时得到的流就是最大流。

我们用图来演示算法的运行过程：
initialize :

graph 存图；
pre：前驱数组，记录前驱点；
d：记录路径中最小流量；
visit：记录该点是否被访问；
flow：记录最大流量；
queue：bfs所用队列，找路径。

**step1:queue = [], pre[1] = -1, maxflow = 0

step2: 访问点1，加入队列，queue =[1], pre[1] = -1

step3: 1出队列，2，3入队，queue=[2,3], pre[2] = 1, pre[3] = 1

step4:2出队列，4入队列，queue=[3,4]. pre[4] = 2
得到路径：1–>2–>4

step5: 修改该路径上的边权，增加反向边, d(4,2) = 2, d(2,1) = 2, dmin = 2,maxflow = 2

**找到路径：1–>3–>4，dmin = 1, maxflow = 2+1 = 3

四、代码实现

#usr/bin/python3
#最大流-EK算法
def bfs(graph, s, t):global visitglobal pren = len(graph)visit = [False for i in range(n)] #记录是否访问pre = {}queue = []pre[s] = -1visit[s] = Trueprint('visit:', visit)queue.append(s)while queue:p = queue.pop(0)for i in range(len(graph[p])):#print('p:',p)if graph[p][i] > 0 and visit[i] == False:pre[i] = pvisit[i] = Trueprint(p, i)if i == t:print("找到一条增广路径")print("visit:", visit)return Truequeue.append(i)return Falsedef EdomonsKarp(graph, s, t):print('s:',s,'t:',t)global flowglobal dd = 0flow = 0while bfs(graph, s, t):d = graph[pre[t]][t]x = t while pre[x] != -1:print('点：', x, '前驱点:', pre[x])d = min(graph[pre[x]][x], d)print("从点",x,"到点",pre[x],'流量最小值为', d)x = pre[x]x = twhile pre[x] != -1:graph[pre[x]][x] -= dgraph[x][pre[x]] += d x = pre[x]print('graph:', graph)flow += dprint(flow)return flowif __name__ == "__main__":graph = [[0, 2, 2, 0],[0, 0, 2, 2],[0, 0, 0, 2],[0, 0, 0, 0]]n = len(graph)visit = [False for i in range(n)] #记录是否访问#pre = {} #记录前驱点s = 0t = 3flow = EdomonsKarp(graph, s, t)print(flow)

广度优先搜索：如果采用邻接矩阵作为图的存储结构，时间复杂度为O(V*2),如果采用邻接表作为图的存储结构，时间复杂度为O(V+E)
深度优先搜索：和上述一样
解释：广度优先搜索的时间复杂度分析，由于每个节点仅被发现一次，因此每个节点入栈和出栈各一次，时间复杂度均为O（1），故入栈和出栈的总时间为O（V），最坏的情况下，需要对每个节点的邻接点进行扫描，所以时间复杂度为O（E），在此之后，每条边至少访问一次，这是因为在搜索的过程中，若某个节点向下搜索时，其子节点都访问过了，这时候就会回退，所以时间复杂度为O(E),所以总的时间复杂度为O(V+E);
邻接矩阵存储方式时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O(V),又有n个顶点，所以时间复杂度为O(V^2).

五、EK算法时间复杂度分析

引理：EK算法每次增广都会使得所有顶点v∈V−{s,t}v\in V - \{s,t\}v∈V−{s,t}到sss的最短距离d[v]d[v]d[v]增加。
采用反证法，假设存在一个点v∈V−{s,t}v\in V-\{s,t\}v∈V−{s,t}，使得d′[v]<d[v]d'[v] < d[v]d′[v]<d[v]。v的前驱点为u。
因此可以得到
d[u]=d[v]−1,d′[u]>=d[u]d[u] = d[v]-1, d'[u] >= d[u]d[u]=d[v]−1,d′[u]>=d[u]
那么显然边(u,v)i̸nE(u,v)\not in E(u,v)inE, 因为如果(u,v)∈E(u,v) \in E(u,v)∈E，则一定有
d[v]<=d[u]+1<=d′[u]+1=d′[v]d[v] <= d[u]+1 <= d'[u]+1 = d'[v]d[v]<=d[u]+1<=d′[u]+1=d′[v]
与假设矛盾。
所以EK算法一定是增加了流f(u,v)f(u,v)f(u,v),即边(v,u)(v,u)(v,u)在GGG的最短路上，固有，
d[v]=d[u]−1<=d′[u]−1=d′[v]−2d[v] = d[u] - 1 <= d'[u] - 1 = d'[v]-2d[v]=d[u]−1<=d′[u]−1=d′[v]−2
与假设矛盾所以引理成立。

定理：EK算法的最多增广次数为 O(VE)O(VE)O(VE)
若增广路ppp的残留容量等于边(u,v)(u,v)(u,v)的残留容量，则称边(u,v)(u,v)(u,v)是增广路ppp的关键边，下面用引理证明每条边最多做关键边∣v∣2−1\frac{|v|}{2}-12∣v∣−1次。

对于关键边(u,v)(u,v)(u,v),由于(u,v)(u,v)(u,v)在最短路上，有
d[v]=d[u]+1d[v] = d[u] + 1d[v]=d[u]+1
而增广后，(u,v)(u,v)(u,v)将会从GGG中消失，重新出现的条件是(v,u)(v,u)(v,u)出现在增广路上。那么则有
d′[u]=d′[v]+1d'[u] = d'[v] + 1d′[u]=d′[v]+1
由引理我们知道
d′[v]>=d[v]d'[v] >= d[v]d′[v]>=d[v]
故有
d′[u]>=d[v]+1=d[u]+2d'[u] >= d[v] + 1 = d[u] + 2d′[u]>=d[v]+1=d[u]+2
所以每次出现至少会使得最短距离+2+2+2,而其距离最大为∣V∣−2|V|-2∣V∣−2,所以每条边最多做关键边∣V∣2−1\frac{|V|}{2}-12∣V∣−1次，总的增广次数就为O(VE)O(VE)O(VE).

所以采用BFS进行增广的话, EK算法将达到复杂度O(VE2)O(VE^2)O(VE2)
但实际情况中，EK算法的复杂度远低于理论上的复杂度。

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