伴随矩阵，可逆矩阵相关思路分析之一

@(线性代数)

定义法–大巧若拙

设矩阵A满足A2+A−4E=0A^2+A-4E = 0A2+A−4E=0,其中E是单位矩阵，则(A+E)−1=?(A+E)^{-1} = ?(A+E)−1=?

分析：这种抽象矩阵的逆矩阵的求法只能用定义式了，但是怎么拆出需要的定义式呢？分享一种绝对适用的解法。如果我说，一眼看出来(A−E)(A+2E)=2E(A-E)(A+2E) = 2E(A−E)(A+2E)=2E,等同于说素描肖像，第一步起个框架，第二步画几个线条，第三步就画成了。实际上，观察力当然是非常宝贵的能力，但是，这一类总是可以采用基础的除法来解决。
比如，问题123/2 = ?手算肯定是列式子。这是小学打下的功底。这里也可这么计算。

(A2+A−4E)÷(A−E)=(A+2E)...−2E,点点点表示余数(A^2+A-4E) \div (A-E) = (A+2E)...-2E,点点点表示余数(A2+A−4E)÷(A−E)=(A+2E)...−2E,点点点表示余数

也就是说A2+A−4E=(A+2E)(A−E)−2E=0A^2+A-4E = (A+2E)(A-E)-2E = 0A2+A−4E=(A+2E)(A−E)−2E=0

再由此推导得出：(A+E)−1=A+2E2(A+E)^{-1} = \frac{A+2E}{2}(A+E)−1=2A+2E

简单问题复杂化–辩证看问题

前面提过，有些问题形式简单到无从下手，需要换个角度让其形式复杂化，这样就能从中找到模式，看到突破口。在线代这里是常常见到的，比如E=AA−1E = AA^{-1}E=AA−1就可以适当引入到表达式中，参与变化，最终得到简单的结果。

举例子。

设
A=[1000−23000−45000−67]A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7 \end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎡1−20003−40005−60007⎦⎥⎥⎤
E是四阶单位矩阵，且B=(E+A)−1(E−A)B=(E+A)^{-1}(E-A)B=(E+A)−1(E−A),求(E+B)−1.(E+B)^{-1}.(E+B)−1.

分析：拿到这个问题，要特别压住直接代入求解的冲动。毕竟这个不是抽象矩阵。为什么这么说，因为计算能力好固然是优势，但避免无谓的计算，自然是更加好的思路。

试着用一下简单问题复杂化。

这里用E=(E+A)−1(E+A)E = (E+A)^{-1}(E+A)E=(E+A)−1(E+A)

因此，
E+B=(E+A)−1(E+A)+(E+A)−1(E−A)=(E+A)−1(E+A+E−A)=2(E+A)−1EE+B = (E+A)^{-1}(E+A) + (E+A)^{-1}(E-A) \\ = (E+A)^{-1}(E+A+E-A) \\ = 2(E+A)^{-1}E E+B=(E+A)−1(E+A)+(E+A)−1(E−A)=(E+A)−1(E+A+E−A)=2(E+A)−1E

似乎没什么变化，
再来，
(E+B)(E+A)=2(E+A)−1(E+A)=2E(E+B)(E+A) = 2(E+A)^{-1}(E+A) = 2E (E+B)(E+A)=2(E+A)−1(E+A)=2E

问题可解：(E+B)−1=E+A2.(E+B)^{-1} = \frac{E+A}{2}.(E+B)−1=2E+A.

END.