时间复杂度，贪心算法解最大团问题，回溯算法解0-1背包问题（仅步骤）

一：算法时间复杂性

1.写出下列非递归程序的时间复杂性
(1)
for(i=2;i<=n;++i)
　　　for(j=2;j<=i-1;++j)
　　　{ ++x;
　　　　a[i,j]=x;
　　　}
上述程序的时间复杂性为:O(n^2)

(2)
int i,j x=0;
for (i=1;i<n;++i)
{
for (j=i+1;j<=n;++j)
{++x}
}
上述程序的时间复杂性为: O(n^2)

(3)
int i=1;
while(i<=n)
i=i*2;
上述程序的时间复杂性为: O(logn)

写出下列递归程序的时间复杂性
int f(int n)
{
if (n==1)
{return 1;}
else
{
return f(n-1)+f(n-2);
}
}
上述递归程序的时间复杂性为:O(2^n)
求解过程：
以f（6）为例：斐波那契数列到第六个数停止

为了计算简便，把第5层fib(1)和fib(2)放在第4层最右边，不影响时间复杂度的计算
可知F（6）有4层，即推得F（n）有n-2层
亦得第n层节点个数：2^n 个
所以，前n层节点个数：1+2+4+……+2^n = (2 ^ n) – 1
二叉树的高度是 n - 2，也就是递归过程函数调用的次数，所以时间复杂度为 O(2^n)。

二：贪心算法设计题

写出求解最大团问题的贪心算法的步骤。
最大团问题简介：一个无向图 G=(V，E)，V 是点集，E 是边集。取 V 的一个子集 U，若对于 U 中任意两个点 u 和 v，有边 (u,v)∈E，那么称 U 是 G 的一个完全子图。 U 是一个团当且仅当 U 不被包含在一个更大的完全子图中。G的最大团指的是定点数最多的一个团。
解： 1.随机从点集V中选择一个点v1，v1自身构成一个完全子图U，标记为flag。
2.遍历v1的相邻边，枚举与其相连接的点（不在U中），若无邻接点，重复步骤1，否则执行步骤3。
3.选择第一个与v1相连的点v2，判断其与完全子图U中任意点是否均相连，若均相连，则将v2加入U中，否则继续遍历枚举其他点直至遍历结束，执行步骤4.
4.从U中选择一个未标记为flag的点u作为遍历中心，重复步骤2，待U中所有点均标记为flag时结束，此时的U是G的最大团。

三：回溯算法设计题

写出求解0-1背包问题的回溯算法的步骤
0-1背包问题简介：：给定n 种物品和一背包。物品 i 的重量为 wi，其价值为 pi，背包的容量为 c。问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
解：
使用子集树表示0-1背包问题的解空间。
计算右子树中解的上界的时将剩余物品依其单位重量价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品的一部分而装满背包。由此得到的价值是右子树中解的上界。

而进入左子树时不需要计算上界，因为其上界与其父节点上界相同。
以下是动态规划转移方程和计算步骤
dp[n][wi]=max(dp[n-1][w(i-1)-wi]+pi,dp[n-1][wi])
1.计算每种物品单位重量的价值si=pi/wi=[6,5,4,3]
2.依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。
3.若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过c，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。
4.依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止

2.画出求解下面0-1背包问题的二叉树
n = 4，(wi) = (30, 40, 30, 10)，(pi) = (180, 200, 120, 30)，c = 95。
其中n为物品个数，wi为物品的重量，pi为物品的价值，c为背包总重量限制。

解：