第 14 章 程序员常用 10 种算法

1、二分查找算法

1.1、二分查找算法介绍

  1. 前面我们讲过了二分查找算法，是使用递归的方式，下面我们讲解二分查找算法的非递归方式
  2. 二分查找法只适用于从有序的数列中进行查找(比如数字和字母等)，将数列排序后再进行查找
  3. 二分查找法的运行时间为对数时间O(log2n) ，即查找到需要的目标位置最多只需要log2n步，假设从[0,99]的队列(100个数，即n=100)中寻到目标数30，则需要查找步数为log2100 , 即最多需要查找7次( 2^6 < 100 < 2^7)

1.2、二分查找算法思路

  1. 二分查找需要将数组分为两个部分：左边和右边，所以需要三个指针来记录位置

    • left ：数组左边界，初始值为 0
    • right ：数组右边界，初始值为 arr.length - 1
    • mid ：数组中间值指针，mid = (left + right) / 2
  2. 目标值 value 与 mid 所指向的值相比较
    • value == arr[mid] ：找到，返回
    • value < arr[mid] ：目标值在数组左边，下次需要在 left~(mid-1) 内搜索
    • value > arr[mid] ：目标值在数组右边，下次需要在 (mid+1))~(right) 内搜索
  3. 何时停止？left > right 时，表示没有找到，返回索引 -1

1.3、二分查找算法实现

  • 代码实现
public class BinarySearchNoRecur {public static void main(String[] args) {// 测试int[] arr = { 1, 3, 8, 10, 11, 67, 100 };int index = binarySearch(arr, 100);System.out.println("index=" + index);}// 二分查找的非递归实现/*** * @param arr    待查找的数组, arr是升序排序* @param target 需要查找的数* @return 返回对应下标，-1表示没有找到*/public static int binarySearch(int[] arr, int target) {int left = 0;int right = arr.length - 1;while (left <= right) { // 说明继续查找int mid = (left + right) / 2;if (arr[mid] == target) {return mid;} else if (arr[mid] > target) {right = mid - 1;// 需要向左边查找} else {left = mid + 1; // 需要向右边查找}}return -1;}}
  • 程序运行结果
index=6

2、分治算法

2.1、分治算法介绍

  • 分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
  • 分治算法可以求解的一些经典问题
    • 二分搜索
    • 大整数乘法
    • 棋盘覆盖
    • 合并排序
    • 快速排序
    • 线性时间选择
    • 最接近点对问题
    • 循环赛日程表
    • 汉诺塔

2.2、分治算法基本步骤

  • 分治法在每一层递归上都有三个步骤：

    • 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
    • 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
    • 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

2.3、分治算法设计模式

  • 其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。
  • ADHOC§是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。
  • 因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC§求解。
  • 算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解
if |P|≤n0then return(ADHOC(P))
//将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
for i←1 to k
do yi ← Divide-and-Conquer(Pi)   // 递归解决Pi
T ← MERGE(y1,y2,…,yk)   // 合并子问题
return(T)

2.4、汉诺塔问题

2.4.1、汉诺塔介绍

  • 汉诺塔的传说：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
  • 假如每秒钟一次，共需多长时间呢？移完这些金片需要5845.54亿年以上，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年，地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。

2.4.2、分治思路

  • 如果 A 塔上只有一个盘子：

    • 直接将 A 塔的盘子移动到 C 塔：A —> C
  • 如果 A 塔上有两个盘子：
    • 先将 A 塔上面的盘子移动到 B 塔：A —> B
    • 再将 A 塔最下面的盘子移动到 C 塔：A --> C
    • 最后将 B 塔上面的盘子移动到 C 塔：B --> C
  • 如果 A 塔上有三个盘子：
    • n >= 2 时，就体现出了分治算法的思想：我们将 A 塔上面的盘子看作一个整体，最下面的单个盘子单独分离出来，分三步走
    • 先将 A 塔上面的盘子看作一个整体，移动到 B 塔（把 C 塔当做中转站）
    • 这样 A 塔就只剩下一个最大的盘子，将 A 塔剩下的盘子移动到 C 塔
    • 最后将 B 塔上面的盘子移动到 C 塔（把 A 塔当做中转站）

2.4.3、代码实现

  • 解决汉诺塔问题：
public class Hanoitower {public static void main(String[] args) {hanoiTower(3, 'A', 'B', 'C');}//汉诺塔的移动的方法//使用分治算法public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) {//如果只有一个盘if(num == 1) {System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c);} else {//如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘//1. 先把 最上面的所有盘 A->B， 移动过程会使用到 chanoiTower(num - 1, a, c, b);//2. 把最下边的盘 A->CSystem.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c);//3. 把B塔的所有盘 从 B->C , 移动过程使用到 a塔  hanoiTower(num - 1, b, a, c);}}}
  • 程序运行结果
第1个盘从 A->C
第2个盘从 A->B
第1个盘从 C->B
第3个盘从 A->C
第1个盘从 B->A
第2个盘从 B->C
第1个盘从 A->C

3、动态规划算法

3.1、应用场景

  • 背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

    • 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
    • 要求装入的物品不能重复
物品 重量 价格
吉他(G) 1 1500
音响(S) 4 3000
电脑(L) 3 2000

3.2、动态规划算法介绍

  • 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
  • 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
  • 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
  • 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解

3.3、背包问题

3.3.1、背包问题介绍

  • 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
  • 这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。

3.3.2、代码思路

  • 背包容量为 4 磅，物品价格以及重量表如下：
物品 重量 价格
吉他(G) 1 1500
音响(S) 4 3000
电脑(L) 3 2000
  • 先来填表 v ，对应着数组 v[][]，我来解释下这张表：

    • 算法的主要思想：利用动态规划来解决。
    • 每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i - 1]（物品重量）和 val[i - 1]（物品价值）来确定是否需要将该物品放入背包中，C为背包的容量
    • v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值
物品 0 磅 1磅 2磅 3磅 4磅
0 0 0 0 0
吉他(G) 0
音响(S) 0
电脑(L) 0
  • 对于第一行(i=1)，目前只有吉他可以选择，这时不管背包容量多大，也只能放一把吉他
物品 0 磅 1****磅 2****磅 3****磅 4****磅
0 0 0 0 0
吉他(G) 0 1500(G) 1500(G) 1500(G) 1500(G)
音响(S) 0
电脑(L) 0
  • 对于第二行(i=2)，目前存在吉他和音响可以选择，新物品为音响，重量为 4 磅，尝试将其放入背包

    • 在 v[2][4] 单元格，尝试将音响放入容量为 4 磅的背包中，看看背包还剩多少容量？还剩 0 磅，再去找找 0 磅能放入最大价值多高的物品：v[1][0] = 0
    • 与上一次 v[1][4] 比较 ， v[1][4] < v[2][4] ，发现确实比之前放得多，采取此方案
物品 0 磅 1****磅 2****磅 3****磅 4****磅
0 0 0 0 0
吉他(G) 0 1500(G) 1500(G) 1500(G) 1500(G)
音响(S) 0 1500(G) 1500(G) 1500(G) 3000(S)
电脑(L) 0
  • 对于第三行(i=3)，目前存在吉他和音响、电脑可以选择，新物品为电脑，重量为 3 磅，尝试将其放入背包

    • 当背包容量为 3 磅时，可以放入电脑

      • 在 v[3][3] 单元格，尝试将电脑放入容量为 3 磅的背包中，看看背包还剩多少容量？还剩 0 磅，再去找找 0 磅能放入最大价值多高的物品：v[2][0] = 0
      • 与上一次 v[2][3] 比较 ， v[2][3] < v[3][3] ，发现确实比之前放得多，采取此方案
    • 当背包容量为 4 磅时，可以放入电脑
      • 在 v[3][4] 单元格，尝试将电脑放入容量为 4 磅的背包中，看看背包还剩多少容量？还剩 1 磅，再去找找 1 磅能放入最大价值多高的物品：v[2][1] = 1500 ，所以总共能放入的重量为 v[3][4] = 3500
      • 与上一次 v[2][4] 比较 ， v[2][4] < v[3][4] ，发现确实比之前放得多，采取此方案
物品 0 磅 1****磅 2****磅 3****磅 4****磅
0 0 0 0 0
吉他(G) 0 1500(G) 1500(G) 1500(G) 1500(G)
音响(S) 0 1500(G) 1500(G) 1500(G) 3000(S)
电脑(L) 0 1500(G) 1500(G) 2000(L) 3500(L+G)

  • 总结公式：

    • 当前新增物品的重量 > 背包的重量，则直接拷贝上次的方案
    if (w[i - 1] > j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，所以是 w[i-1]v[i][j] = v[i - 1][j];
}
    • 当前新增物品的重量 <= 背包的重量

      • 尝试将新物品放入背包，看看还剩多少容量
      • 尝试剩余的容量填满，看看此时背包里物品的价值和上次比，哪个更大，取价格更大的方案即可
    if (w[i - 1] <= j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，所以是 w[i-1]v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
}

  • 为什么可以这样做？将大问题拆成小问题

    • 第一步：求得第一步步骤的最优解
    • 第二步：求得第二步步骤的最优解，第二步的最优解依赖于第一步的最优解
    • …
    • 第 n 步：求得第 n 步步骤的最优解，第 n 步的最优解依赖于第 n-1 步的最优解

3.3.3、代码实现

  • 背包问题算法
public class KnapsackProblem {public static void main(String[] args) {int[] w = { 1, 4, 3 };// 物品的重量int[] val = { 1500, 3000, 2000 }; // 物品的价值 这里val[i]int m = 4; // 背包的容量int n = val.length; // 物品的个数// 创建二维数组，// v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值int[][] v = new int[n + 1][m + 1];// 为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组int[][] path = new int[n + 1][m + 1];// 初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0for (int i = 0; i < v.length; i++) {v[i][0] = 0; // 将第一列设置为0}for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {v[0][i] = 0; // 将第一行设置0}// 根据前面得到公式来动态规划处理for (int i = 1; i < v.length; i++) { // 不处理第一行 i是从1开始的for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {// 不处理第一列, j是从1开始的// 公式if (w[i - 1] > j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，所以是 w[i-1]v[i][j] = v[i - 1][j];} else {// 说明:// 因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成// v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);// 为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];// 把当前的情况记录到pathpath[i][j] = 1;} else {v[i][j] = v[i - 1][j];}}}}// 输出一下v 看看目前的情况for (int i = 0; i < v.length; i++) {for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {System.out.print(v[i][j] + "\t ");}System.out.println();}System.out.println("============================");// 动脑筋int i = path.length - 1; // 行的最大下标int j = path[0].length - 1; // 列的最大下标while (i > 0 && j > 0) { // 从path的最后开始找if (path[i][j] == 1) {System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);j -= w[i - 1]; // w[i-1]}i--;}}}
  • 程序运行结果
0     0   0   0   0
0    1500    1500    1500    1500
0    1500    1500    1500    3000
0    1500    1500    2000    3500
============================
第3个商品放入到背包
第1个商品放入到背包

3.4、爬楼梯问题

3.4.1、代码思路

  • 当 n < 0 时，无解
  • 当 n = 1 时，f (n) = 1
  • 当 n = 2 时，有两种方法：
    • 走两次一级楼梯
    • 一下走两级楼梯
  • 当 n > 2 时，设总共的跳法为 f(n) 中，第一次跳一级还是两级，决定了后面剩下的台阶的跳法数目的不同：
    • 如果第一次只跳一级，则后面剩下的n-1级台阶的跳法数目为 f(n-1)
    • 如果第一次跳两级，则后面剩下的 n-2 级台阶的跳法数目为 f(n-2)
  • 所以，得出递归方程，f(n) = f(n-1) + f(n-2)，问题本质是斐波那契数列。

3.4.2、代码实现

/**上台阶问题，dp**/
public static int climbStairs(int n) {if(n==0) return -1;if(n==1) return 1;int []dp = new int [n];dp[0] =1;dp[1] =2;for(int i=0;i<n-2;i++) {dp[i+2]=dp[i]+dp[i+1];}return dp[n-1];
}

4、KMP 算法

4.1、应用场景

  • 字符串匹配问题：

    • 有一个字符串 str1= ““硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好””，和一个子串 str2=“尚硅谷你尚硅你”
    • 现在要判断 str1 是否含有 str2，如果存在，就返回第一次出现的位置，如果没有，则返回-1

4.2、暴力匹配算法

4.2.1、暴力匹配代码思路

  • 如果用暴力匹配的思路，需要两个指针：i ，j ，i 表示现在 str1 匹配到索引为 i 的位置，子串str2 匹配到索引为 j 的位置

    • 如果当前字符匹配成功（即str1[i] == str2[j]），则i++，j++，继续匹配下一个字符
    • 如果失配（即str1[i]! = str2[j]），令 i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为 0
  • 用暴力方法解决的话就会有大量的回溯，每次只移动一位，若是不匹配，移动到下一位接着判断，浪费了大量的时间。(不可行!)
  • 为什么匹配失败后，要令指针 i 回溯匹配起始位置的下一个位置？就比如说 001112 和 112 ，当 i 扫描至 str1[4] ，j 扫描至 str2[4] 时，发现字符串不匹配。i 重新回到 str1[2] 的下一个位置 str1[3] ，继续执行扫描，str1[3~5] 和 str2[0~2] 相等，匹配成功

4.2.2、暴力匹配代码

  • 代码
public class ViolenceMatch {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stub// 测试暴力匹配算法String str1 = "硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好";String str2 = "尚硅谷你尚硅你";int index = violenceMatch(str1, str2);System.out.println("index=" + index);}// 暴力匹配算法实现public static int violenceMatch(String str1, String str2) {char[] s1 = str1.toCharArray();char[] s2 = str2.toCharArray();int s1Len = s1.length;int s2Len = s2.length;int i = 0; // i索引指向s1int j = 0; // j索引指向s2while (i < s1Len && j < s2Len) {// 保证匹配时，不越界if (s1[i] == s2[j]) {// 匹配oki++;j++;} else { // 没有匹配成功// 如果失配（即str1[i]! = str2[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0。i = i - (j - 1);j = 0;}}// 判断是否匹配成功if (j == s2Len) {return i - j;} else {return -1;}}}
  • 程序运行结果
index=15

4.3、KMP 算法

4.3.1、KMP 算法介绍

  • KMP是一个解决模式串在文本串是否出现过，如果出现过，最早出现的位置的经典算法
  • Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP算法”，常用于在一个文本串S内查找一个模式串P的出现位置，这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表，故取这3人的姓氏命名此算法.
  • KMP方法算法利用之前判断过信息，通过一个next数组，保存模式串中前后最长公共子序列的长度，每次回溯时，通过next数组找到，前面匹配过的位置，省去了大量的计算时间
  • 参考资料：https://www.cnblogs.com/ZuoAndFutureGirl/p/9028287.html

4.3.2、KMP 算法流程

  • 举例来说，有一个字符串 Str1 = “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，判断，里面是否包含另一个字符串 Str2 = “ABCDABD”？
  • 首先，第一步用Str1的第一个字符和Str2的第一个字符去比较，不符合，关键词向后移动一位

  • 重复第一步，还是不符合，再后移

  • 一直重复，直到Str1有一个字符与Str2的第一个字符符合为止

  • 接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是符合

  • 遇到Str1有一个字符与Str2对应的字符不符合

  • 这时候，想到的是继续遍历Str1的下一个字符，重复第1步

    • 其实是很不明智的，因为此时BCD已经比较过了，没有必要再做重复的工作，一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”
    • 为什么我知道 BCD已经比较过了呢？待匹配的子串为 ABCDABD ，当在源字符串中匹配至 ABCDABX（X != D） 时， BCD 很明显不可能与字符串 A 匹配成功，但ABX 有可能与 ABC 相等，所以 ABXXXXX 有可能与 ADCDABD 匹配成功，所以我们直接将搜索位置向后移动 4 个位置
    • KMP 算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把搜索位置移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率

  • 怎么做到把刚刚重复的步骤省略掉？可以对Str2计算出一张《部分匹配表》，这张表的产生在后面介绍

  • 已知空格与D不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

    • 移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值

    • 因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动 4 位。

    • 说白了，不就是字符串 ABCDAB 的后缀中包含 AB ，前缀也包含了 AB

      • 当我们匹配到了 ABCDABX（X != D） 时，其实 BCD 部分其实无须再去匹配，但因为后缀 ABX 有可能等于 ABC ，所以需要从 ABX 中的 A 开始匹配，

      • 相同的前后缀 AB 长度为 2 ，所以搜索位置向后移动 4 位（待匹配的子串长度 - 相同的前后缀长度）

  • 因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。

    • 这时，已匹配的字符数为2（”AB”），对应的”部分匹配值”为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移 2 位。
    • 来仔细想想，为啥是向后移动 2 位？
      • 当我们匹配到 ABX（X != C）时，我们需要考虑搜索位置往后面移动多少个位置
      • 由于字符串 AB 没有相同的前后缀，所以部分匹配值为 0 ，也就是说，如果匹配不到子串 匹配到 ABX（X != C） ，直接从 X 的位置开始继续搜索，因为字符串 AB 中没有相同的前后缀~~~

  • 因为空格与A不匹配，继续后移一位

  • 逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动 4 位

  • 逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动 7 位，这里就不再重复了

4.3.3、部分匹配表

  • 有没有想过部分匹配表怎么产生的？首先我们先介绍字符串的前缀，后缀是什么？

  • “部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例，

    • ”A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；
    • ”AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；
    • ”ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；
    • ”ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；
    • ”ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为1；
    • ”ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为2；
    • ”ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。
    • 计算部分匹配表时，当前字符串的部分匹配表的求解依赖于上个子串的部分匹配表

  • ”部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动 4 位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。

4.3.4、KMP 算法实现

1、计算部分匹配表
  • KMP 中的关键就是求公共最长匹配前缀和后缀的长度了（多读几遍这句话，你就懂了）
  • next 数组的含义：next[i] 表示原字符串的子串 str.subString(0, i) 中，前缀和后缀的最长的共有元素的长度
  • 首先，如果只包含单个字符的字符串，其部分匹配表为 { 0 } ，所以next[0] = 0;
  • 然后索引 i 从 1 ~ dest.length() 递增，依次求取每个子串的部分匹配表，就很神奇，下一次子串的部分匹配表的求解依赖于上一次子串的部分匹配表（具体看下面）
  • 索引 j 的含义：
    • 索引 j 指向当前待匹配字符的索引，每当匹配到一个字符时，索引 j 便执行 +1 操作
    • 比如匹配 ABCDA 时，i 指向最后一个 A ，即 i == 4 ，此时 j 还是 0 ，匹配到 str[i] == str[j] ，j +=1 ，为下一次匹配做准备
  • 怎么求每个子串的部分匹配值呢？以 ABCDABD 为例
    • A 的部分匹配表为 { 0 } ，那么 AB、ABC、ABCD、ABCDA、ABCDAB、ABCDABD 的部分匹配表要怎么计算呢？其实每个字符串的部分匹配表都要根据上一个子串的部分匹配表来计算
    • 比如我们需要求 ABCDAB 的部分匹配表
      • 我们在上一步已经求出 ABCDA 的部分匹配表为 { 0, 0, 0, 0, 1 }
      • 此时 i == 5 ，j == 1 ，我们尝试匹配 str[j] 和 str[i] ：str[j] == str[i] == ‘B’ ，匹配成功，我们在上一步部分匹配表的基础上，对最后一个部分匹配值进行 +1 操作
      • 所以我们求得 ABCDAB 的部分匹配表为 { 0, 0, 0, 0, 1, 2 }
    • 再来，我们现在继续求 ABCDABD 的部分匹配表
      • 我们在上一步已经求出 ABCDAB 的部分匹配表为 { 0, 0, 0, 0, 1, 2 }
      • 此时 i == 6 ，j == 2 ，我们尝试匹配 str[j] 和 str[i] ：str[j] == ‘C’ ， str[i] == ‘D’ ，发现 str[j] != str[i]
      • 我们进行匹配，发现 “ABC” != “ABD” 时，j 就应该进行回退，索引 j 肯定需要往前面回溯，那么 j 怎么回溯呢？
      • 举个例子：“ABCX” 和 “ABDX” ，其中X为任意字符，因为有字符 D 的存在，如果想要前缀与后缀匹配，只能再从头开始算起，所以j需要回退到 ABC 中的 A 字符，即 j = next[j - 1];
// 获取到一个字符串(子串) 的部分匹配表
public static int[] kmpNext(String dest) {// 创建一个next 数组保存部分匹配值int[] next = new int[dest.length()];next[0] = 0; // 如果字符串是长度为1 部分匹配值就是0for (int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) {// 当dest.charAt(i) != dest.charAt(j) ，我们需要从next[j-1]获取新的j// 直到我们发现 有 dest.charAt(i) == dest.charAt(j)成立才退出// 这是kmp算法的核心点while (j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) {j = next[j - 1];}// 当dest.charAt(i) == dest.charAt(j) 满足时，部分匹配值就是+1if (dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) {j++;}next[i] = j;}return next;
}

看到一篇写 KMP 的博客，写得还不错

参考资料：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736

2、执行 KMP 搜索

  • 索引 i 从 0 ~ dest.length() 递增，依次与目标子串中的字符进行比较

  • next[] 为部分搜索表

  • 如果当前字符匹配成功，则 j++ ，为匹配下一个字符做准备

  • 如果当前字符匹配失败，则 j 往前回溯，具体做法是：从子串的部分匹配表中，获取当前需要从子串的哪个索引位置开始继续执行匹配（j = next[j - 1]），目的是为了跳过那些没有必要再比较的字符

// 写出我们的kmp搜索算法
/*** * @param str1 源字符串* @param str2 子串* @param next 部分匹配表, 是子串对应的部分匹配表* @return 如果是-1就是没有匹配到，否则返回第一个匹配的位置*/
public static int kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) {// 遍历for (int i = 0, j = 0; i < str1.length(); i++) {// 需要处理 str1.charAt(i) ！= str2.charAt(j), 去调整j的大小// KMP算法核心点, 可以验证...while (j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) {j = next[j - 1];}if (str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) {j++;}if (j == str2.length()) { // 找到了return i - j + 1;}}return -1;
}
3、代码测试
  • 首先计算待搜索子串的部分匹配表
  • 然后从利用子串的部分匹配表，在源字符串中进行搜索
public static void main(String[] args) {String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";String str2 = "ABCDABD";// String str2 = "BBC";int[] next = kmpNext("ABCDABD"); // [0, 1, 2, 0]System.out.println("next=" + Arrays.toString(next));int index = kmpSearch(str1, str2, next);System.out.println("index=" + index); // 15}
  • 程序运行结果
next=[0, 0, 0, 0, 1, 2, 0]
index=15

5、贪心算法

5.1、应用场景(集合覆盖问题)

  • 假设存在下面需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号
广播台 覆盖地区
K1 “北京”, “上海”, “天津”
K2 “广州”, “北京”, “深圳”
K3 “成都”, “上海”, “杭州”
K4 “上海”, “天津”
K5 “杭州”, “大连”

5.2、贪心算法介绍

  • 贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择，从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法
  • 贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果

5.3、集合覆盖问题

5.3.1、穷举法缺点

  • 如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢，使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合，这被称为幂集。假设总的有n个广播台，则广播台的组合总共有 2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算10个子集，
广播台数量n 子集总数2ⁿ 需要的时间
5 32 3.2秒
10 1024 102.4秒
32 4294967296 13.6年
100 1.26*100³º 4x10²³年

5.3.2、代码思路

  • 目前并没有算法可以快速计算得到准备的值， 使用贪婪算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高
  • 在选择策略上，因为需要覆盖全部地区的最小集合，大致思路如下：
    • 声明几个辅助变量：

      • ArrayList<String> selects;：存放已经选取的电台，比如 { K1, K2, …}
      • HashSet<String> allAreas; ：存放当前还未覆盖的地区
      • String maxKey = null; ：存放当前能覆盖最多未覆盖地区的电台，比如 K1、K2
    • 在所有电台中，找到一个能覆盖最多还未覆盖地区的电台（此电台可能包含一些已覆盖的地区，但没有关系）：maxKey
    • 将其加入到 selects 集合中，表示已经选了该电台
    • 将 maxKey 电台中的地区从 allAreas 中移除
    • 重复如上步骤，直至 allAreas 为空

5.3.3、代码实现

  • 使用贪心算法解决集合覆盖问题
public class GreedyAlgorithm {public static void main(String[] args) {// 创建广播电台,放入到MapHashMap<String, HashSet<String>> broadcasts = new HashMap<String, HashSet<String>>();// 将各个电台放入到broadcastsHashSet<String> hashSet1 = new HashSet<String>();hashSet1.add("北京");hashSet1.add("上海");hashSet1.add("天津");HashSet<String> hashSet2 = new HashSet<String>();hashSet2.add("广州");hashSet2.add("北京");hashSet2.add("深圳");HashSet<String> hashSet3 = new HashSet<String>();hashSet3.add("成都");hashSet3.add("上海");hashSet3.add("杭州");HashSet<String> hashSet4 = new HashSet<String>();hashSet4.add("上海");hashSet4.add("天津");HashSet<String> hashSet5 = new HashSet<String>();hashSet5.add("杭州");hashSet5.add("大连");// 加入到mapbroadcasts.put("K1", hashSet1);broadcasts.put("K2", hashSet2);broadcasts.put("K3", hashSet3);broadcasts.put("K4", hashSet4);broadcasts.put("K5", hashSet5);// allAreas 存放所有的地区HashSet<String> allAreas = new HashSet<String>();for (Entry<String, HashSet<String>> broadcast : broadcasts.entrySet()) {allAreas.addAll(broadcast.getValue());}// 创建ArrayList, 存放选择的电台集合ArrayList<String> selects = new ArrayList<String>();// 定义一个临时的集合， 在遍历的过程中，存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖地区的交集HashSet<String> tempSet = new HashSet<String>();// 定义给maxKey ， 保存在一次遍历过程中，能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key// 如果maxKey 不为null , 则会加入到 selectsString maxKey = null;Integer maxCount = 0;Integer curCount = 0;while (allAreas.size() != 0) { // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区// 每进行一次while，需要重置指针，重置计数器maxKey = null;maxCount = 0;// 遍历 broadcasts, 取出对应keyfor (String key : broadcasts.keySet()) {// 每进行一次for清除tempSettempSet.clear();// 当前这个key能够覆盖的地区HashSet<String> areas = broadcasts.get(key);tempSet.addAll(areas);// 求出tempSet 和 allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSettempSet.retainAll(allAreas);// 当前站台可以覆盖额外的多少个城市curCount = tempSet.size();// 如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量，比maxKey指向的集合地区还多，就需要重置maxKey// curCount > maxCount 体现出贪心算法的特点,每次都选择最优的if (curCount > maxCount) {maxKey = key;maxCount = curCount;}}// maxKey != null, 就应该将maxKey 加入selectsif (maxKey != null) {selects.add(maxKey);// 将maxKey指向的广播电台覆盖的地区，从 allAreas 去掉allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));}}System.out.println("得到的选择结果是" + selects);// [K1,K2,K3,K5]}}
  • 程序运行结果
得到的选择结果是[K1, K2, K3, K5]

5.4、注意事项

  • 贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果
  • 比如上题的算法选出的是K1, K2, K3, K5，符合覆盖了全部的地区
  • 但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区，如果K2 的使用成本低于K1,那么我们上题的 K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件，但是并不是最优的

6、普里姆算法

6.1、应用场景(修路问题)

  • 看一个应用场景和问题：

    • 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
    • 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
    • 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
  • 正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少

6.2、最小生成树

  • 修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

    • 给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树
    • N个顶点，一定有N-1条边
    • 包含全部顶点
    • N-1条边都在图中
  • 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

6.3、普里姆算法介绍

  • 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
  • 普利姆的算法如下:
    • 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
    • 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
    • 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
    • 重复上述步骤，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
    • 提示: 单独看步骤很难理解，我们通过实例和代码来讲解，比较好理解

6.4、代码思路

  • 举例来说明，就用下面这张图，起始顶点起始无所谓，因为顶点有 7 个，边数最少为 6 条边，最后得到的 6 条边中，其路径长度都是所有边中路径长度最短的
  • 第一步：选取顶点 A ，并标记顶点 A 已被访问，求取最短路径
    • A – > B ：路径长度为 5
    • A – > C ：路径长度为 7
    • A – > G ：路径长度为 2
    • 选取最短路径 <A, G> ，其长度为 2
    • 标记顶点 G 已被访问过
  • 第二步：同样也是求取最短路径
    • A – > B ：路径长度为 5
    • A – > C ：路径长度为 7
    • A – > G ：G 已经被访问过，不考虑
    • G – > B ：路径长度为 3
    • G – > E ：路径长度为 4
    • G – > F ：路径长度为 6
    • 选取最短路径 <G, B> ，其长度为 3
    • 标记顶点 B 已被访问过
  • 第三步：同样也是求取最短路径
    • A – > B ：B 已经被访问过，不考虑
    • A – > C ：路径长度为 7
    • A – > G ：G 已经被访问过，不考虑
    • G – > B ：B 已经被访问过，不考虑
    • G – > E ：路径长度为 4
    • G – > F ：路径长度为 6
    • B --> A ：A 已经被访问过，不考虑
    • B --> D ：路径长度为 9
    • 选取最短路径 <G, E> ，其长度为 4
    • 标记顶点 E 已被访问过
  • 第 n 步：以此类推
  • 什么时候停止？n 个顶点最少需要 n - 1 条边

  • 我感觉我可以优化上面的逻辑和下面的代码，改日吧

6.5、代码实现

6.5.1、图的定义

  • 使用邻接矩阵法，定义一张图
class MGraph {int verxs; // 表示图的节点个数char[] data;// 存放结点数据int[][] weight; // 存放边，就是我们的邻接矩阵public MGraph(int verxs) {this.verxs = verxs;data = new char[verxs];weight = new int[verxs][verxs];}//创建图的邻接矩阵/*** * @param graph 图对象* @param verxs 图对应的顶点个数* @param data 图的各个顶点的值* @param weight 图的邻接矩阵*/public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {int i, j;for (i = 0; i < verxs; i++) {// 顶点graph.data[i] = data[i];for (j = 0; j < verxs; j++) {graph.weight[i][j] = weight[i][j];}}}// 显示图的邻接矩阵public void showGraph(MGraph graph) {for (int[] link : graph.weight) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}
}

6.5.2、普林姆算法

  • 编写普林姆算法
//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {//编写prim算法，得到最小生成树/*** * @param graph 图* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成，'A'->0 'B'->1...*/public void prim(MGraph graph, int v) {// visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过int visited[] = new int[graph.verxs];// 把当前这个结点标记为已访问visited[v] = 1;// h1 和 h2 记录两个顶点的下标int h1 = -1;int h2 = -1;int minWeight = 10000; // 将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {// 因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边// 这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i结点表示被访问过的结点for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {// j结点表示还没有访问过的结点if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {// 替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)minWeight = graph.weight[i][j];h1 = i;h2 = j;}}}// 找到一条边是最小System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);// 将当前这个结点标记为已经访问visited[h2] = 1;// minWeight 重新设置为最大值 10000minWeight = 10000;}}
}

6.5.3、代码测试

  • 代码
public static void main(String[] args) {//测试看看图是否创建okchar[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};int verxs = data.length;//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通int [][]weight=new int[][]{{10000,5,7,10000,10000,10000,2},{5,10000,10000,9,10000,10000,3},{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},{10000,10000,8,10000,10000,5,4},{10000,10000,10000,4,5,10000,6},{2,3,10000,10000,4,6,10000}};//创建MGraph对象MGraph graph = new MGraph(verxs);//创建一个MinTree对象MinTree minTree = new MinTree();graph.createGraph(graph, verxs, data, weight);//输出graph.showGraph(graph);//测试普利姆算法minTree.prim(graph, 0);
}
  • 程序运行结果
[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]
边<A,G> 权值:2
边<G,B> 权值:3
边<G,E> 权值:4
边<E,F> 权值:5
边<F,D> 权值:4
边<A,C> 权值:7

6.6、普利姆算法全部代码

public class PrimAlgorithm {public static void main(String[] args) {//测试看看图是否创建okchar[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};int verxs = data.length;//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通int [][]weight=new int[][]{{10000,5,7,10000,10000,10000,2},{5,10000,10000,9,10000,10000,3},{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},{10000,10000,8,10000,10000,5,4},{10000,10000,10000,4,5,10000,6},{2,3,10000,10000,4,6,10000}};//创建MGraph对象MGraph graph = new MGraph(verxs);//创建一个MinTree对象MinTree minTree = new MinTree();graph.createGraph(graph, verxs, data, weight);//输出graph.showGraph(graph);//测试普利姆算法minTree.prim(graph, 0);// }}//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {//编写prim算法，得到最小生成树/*** * @param graph 图* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成，'A'->0 'B'->1...*/public void prim(MGraph graph, int v) {// visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过int visited[] = new int[graph.verxs];// 把当前这个结点标记为已访问visited[v] = 1;// h1 和 h2 记录两个顶点的下标int h1 = -1;int h2 = -1;int minWeight = 10000; // 将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {// 因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边// 这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i结点表示被访问过的结点for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {// j结点表示还没有访问过的结点if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {// 替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)minWeight = graph.weight[i][j];h1 = i;h2 = j;}}}// 找到一条边是最小System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);// 将当前这个结点标记为已经访问visited[h2] = 1;// minWeight 重新设置为最大值 10000minWeight = 10000;}}
}class MGraph {int verxs; // 表示图的节点个数char[] data;// 存放结点数据int[][] weight; // 存放边，就是我们的邻接矩阵public MGraph(int verxs) {this.verxs = verxs;data = new char[verxs];weight = new int[verxs][verxs];}//创建图的邻接矩阵/*** * @param graph 图对象* @param verxs 图对应的顶点个数* @param data 图的各个顶点的值* @param weight 图的邻接矩阵*/public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {int i, j;for (i = 0; i < verxs; i++) {// 顶点graph.data[i] = data[i];for (j = 0; j < verxs; j++) {graph.weight[i][j] = weight[i][j];}}}// 显示图的邻接矩阵public void showGraph(MGraph graph) {for (int[] link : graph.weight) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}
}

7、克鲁斯卡尔算法

7.1、应用场景(公交站问题)

  • 看一个应用场景和问题：

    • 某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
    • 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
    • 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

7.2、克鲁斯卡尔算法介绍

  • 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
  • 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
  • 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

7.3、代码思路

7.3.1、最小生成树

  • 在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树

  • 例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

7.3.2、克鲁斯卡尔算法图解

  • 以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)

    • 第1步：将边<E,F>加入R中。 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
    • 第2步：将边<C,D>加入R中。 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
    • 第3步：将边<D,E>加入R中。 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
    • 第4步：将边<B,F>加入R中。 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
    • 第5步：将边<E,G>加入R中。 上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
    • 第6步：将边<A,B>加入R中。 上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
    • 此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

  • 总结：

    • 将所有边按照权值排序，从小到大依次加入森林中
    • 前提条件：森林中不产生回路，因为产生回路，这条路就相当于是多余的，就算它权值再小也没卵用

7.4、克鲁斯卡尔算法分析

  • 根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
  • 问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序？采用排序算法进行排序即可。
  • 问题二：将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路？处理方式是：
    • 记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"
    • 然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路
  • 想想为什么能这样判断是否形成了回路？下面举例说明
    • 在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点

      • C的终点是F
      • D的终点是F
      • E的终点是F
      • F的终点是F
    • 关于终点的说明：
      • 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是与它连通的最大顶点。
      • 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。
      • 这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路
    • 为啥添加边时，该边的两个顶点的终点重合，他们两就指向同一个构成回路？两个顶点的终点重合，就说明这两个顶点都能寻找到一条路径，跑到终点处，再为这两个顶点添加一条边，就是画蛇添足，只会增加总路径的长度

7.5、代码实现

7.5.1、边的定义

  • 定义 EdgeData 类，用于表示一条边
//创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边
class EdgeData {char start; // 边的一个点char end; // 边的另外一个点int weight; // 边的权值// 构造器public EdgeData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}// 重写toString, 便于输出边信息@Overridepublic String toString() {return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";}}

7.5.2、克鲁斯卡尔算法

  • sortEdges() 方法：按照边的路径长度，对边进行排序
  • getPosition() 方法：根据顶点的名称返回其索引值
  • getEdges() 方法：根据邻接矩阵返回边的数组（EdgeData[]）
  • getEnd() 方法：返回索引为 i 的顶点的终点，具体做法如下：
    • ends[i] 拿到索引为 i 的节点的邻接点
    • 令 i = ends[i] ，再通过 ends[i] 拿到其邻接点
    • 直至 ends[i] == 0 时，说明索引为 i 的节点（注意 i 一直在变化）就是终点
  • kruskal() 方法：利用克鲁斯卡尔算法生成最小生成树：
    • 首选按照边的路径长度，对边进行排序
    • 遍历每条边的顶点，计算两个顶点的终点
      • 如果顶点的终点不重合，则记录当前当前边两个顶点共同的终点
      • 否则，该路径构成回路，啥也不做
    • 再来看看精髓之处，如何记录顶点的终点？ends[endPointOfPoint1] = endPointOfPoint2;
      • 就以上面的例子来说明，现在有 7 个顶点，ends 数组长度为 7 ，用于记录顶点的索引
      • 第一次遍历时 <E, F>= 2 ，其路径最短 ，记录 E（索引为 4） 的终点为 F（索引为 5 ） ，即 ends[4] = 5
      • 第二次遍历时 <C, D>= 3 ，其路径最短 ，记录 C（索引为 2） 的终点为 D（索引为 3 ） ，即 ends[2] = 3
      • 第三次遍历时 <D, E>= 3 ，其路径最短 ，记录 D（索引为 3） 的终点为 E（索引为 4 ） ，即 ends[3] = 4
      • 其实，这有点链表的意思，我们通过 C 能找到 E
        • C --> D ：顶点 C 的索引为 2 ，令 i = 2 ，i = ends[i] = 3 ，即通过顶点 C 找到了顶点 D（索引为 3 ）
        • D --> E ：顶点 D 的索引为 3 ，令 i = 3 ，i = ends[i] = 4 ，即通过顶点 D 找到了顶点 E（索引为 4 ）
      • 数组中元素值为零是什么意思？表示该顶点没有邻接点，即孤零零的一个，每个孤立点的终点我们认为就是他自己
class KruskalCase{private int edgeNum; //边的个数private char[] vertexs; //顶点数组private int[][] matrix; //邻接矩阵//使用 INF 表示两个顶点不能连通private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;// 构造器public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {// 初始化顶点数和边的个数int vlen = vertexs.length;// 初始化顶点, 复制拷贝的方式this.vertexs = new char[vlen];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {this.vertexs[i] = vertexs[i];}// 初始化边, 使用的是复制拷贝的方式this.matrix = new int[vlen][vlen];for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = 0; j < vlen; j++) {this.matrix[i][j] = matrix[i][j];}}// 统计边的条数for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {if (this.matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}}//打印邻接矩阵public void print() {System.out.println("邻接矩阵为: \n");for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);}System.out.println();// 换行}}/*** 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序* @param edges 边的集合*/private void sortEdges(EdgeData[] edges) {for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {// 交换EdgeData tmp = edges[j];edges[j] = edges[j + 1];edges[j + 1] = tmp;}}}}/*** * @param ch 顶点的值，比如'A','B'* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1*/private int getPosition(char ch) {for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if (vertexs[i] == ch) {// 找到return i;}}// 找不到,返回-1return -1;}/*** 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组* 是通过matrix 邻接矩阵来获取* EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]* @return*/private EdgeData[] getEdges() {int index = 0;EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {if (matrix[i][j] != INF) {edges[index++] = new EdgeData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 功能: 获取下标为i的顶点的终点, 用于后面判断两个顶点的终点是否相同* @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成* @param i : 表示传入的顶点对应的下标* @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解*/private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]while (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}public void kruskal() {int index = 0; // 表示最后结果数组的索引int[] ends = new int[vertexs.length]; // 用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点// 创建结果数组, 保存最后的最小生成树EdgeData[] rets = new EdgeData[edgeNum];// 获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边EdgeData[] edges = getEdges();System.out.println("排序前，图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共" + edges.length); // 12// 按照边的权值大小进行排序(从小到大)sortEdges(edges);System.out.println("排序后，图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共" + edges.length); // 12// 遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {// 获取到第i条边的第一个顶点(起点)int p1 = getPosition(edges[i].start); // p1 = 4// 获取到第i条边的第2个顶点int p2 = getPosition(edges[i].end); // p2 = 5// 获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点int m = getEnd(ends, p1); // m = 4// 获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int n = getEnd(ends, p2); // n = 5// 是否构成回路if (m != n) { // 没有构成回路ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]rets[index++] = edges[i]; // 有一条边加入到rets数组}}// <E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。// 统计并打印 "最小生成树", 输出 retsSystem.out.println("最小生成树为");for (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}}

7.5.3、测试代码

  • 代码
//使用 INF 表示两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵  int matrix[][] = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
/*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
/*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
/*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
/*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
/*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
/*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}}; //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.//创建KruskalCase 对象实例KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);//输出构建的kruskalCase.print();kruskalCase.kruskal();}
  • 程序运行结果
邻接矩阵为: 0          12  2147483647  2147483647  2147483647          16          1412           0          10  2147483647  2147483647           7  21474836472147483647          10           0           3           5           6  21474836472147483647  2147483647           3           0           4  2147483647  21474836472147483647  2147483647           5           4           0           2           816           7           6  2147483647           2           0           914  2147483647  2147483647  2147483647           8           9           0
排序前，图的边的集合=[EData [<A, B>= 12], EData [<A, F>= 16], EData [<A, G>= 14], EData [<B, C>= 10], EData [<B, F>= 7], EData [<C, D>= 3], EData [<C, E>= 5], EData [<C, F>= 6], EData [<D, E>= 4], EData [<E, F>= 2], EData [<E, G>= 8], EData [<F, G>= 9]] 共12
排序后，图的边的集合=[EData [<E, F>= 2], EData [<C, D>= 3], EData [<D, E>= 4], EData [<C, E>= 5], EData [<C, F>= 6], EData [<B, F>= 7], EData [<E, G>= 8], EData [<F, G>= 9], EData [<B, C>= 10], EData [<A, B>= 12], EData [<A, G>= 14], EData [<A, F>= 16]] 共12
最小生成树为
EData [<E, F>= 2]
EData [<C, D>= 3]
EData [<D, E>= 4]
EData [<B, F>= 7]
EData [<E, G>= 8]
EData [<A, B>= 12]

7.6、克鲁斯卡尔算法全部代码

public class KruskalCaseDemo {//使用 INF 表示两个顶点不能连通private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵  int matrix[][] = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},/*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},/*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},/*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},/*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},/*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},/*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}}; //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.//创建KruskalCase 对象实例KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);//输出构建的kruskalCase.print();kruskalCase.kruskal();} }class KruskalCase{private int edgeNum; //边的个数private char[] vertexs; //顶点数组private int[][] matrix; //邻接矩阵//使用 INF 表示两个顶点不能连通private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;// 构造器public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {// 初始化顶点数和边的个数int vlen = vertexs.length;// 初始化顶点, 复制拷贝的方式this.vertexs = new char[vlen];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {this.vertexs[i] = vertexs[i];}// 初始化边, 使用的是复制拷贝的方式this.matrix = new int[vlen][vlen];for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = 0; j < vlen; j++) {this.matrix[i][j] = matrix[i][j];}}// 统计边的条数for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {if (this.matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}}//打印邻接矩阵public void print() {System.out.println("邻接矩阵为: \n");for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);}System.out.println();// 换行}}/*** 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序* @param edges 边的集合*/private void sortEdges(EdgeData[] edges) {for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {// 交换EdgeData tmp = edges[j];edges[j] = edges[j + 1];edges[j + 1] = tmp;}}}}/*** * @param ch 顶点的值，比如'A','B'* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1*/private int getPosition(char ch) {for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if (vertexs[i] == ch) {// 找到return i;}}// 找不到,返回-1return -1;}/*** 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组* 是通过matrix 邻接矩阵来获取* EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]* @return*/private EdgeData[] getEdges() {int index = 0;EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {if (matrix[i][j] != INF) {edges[index++] = new EdgeData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 功能: 获取下标为i的顶点的终点, 用于后面判断两个顶点的终点是否相同* @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成* @param i : 表示传入的顶点对应的下标* @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解*/private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]while (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}public void kruskal() {int index = 0; // 表示最后结果数组的索引int[] ends = new int[vertexs.length]; // 用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点// 创建结果数组, 保存最后的最小生成树EdgeData[] rets = new EdgeData[edgeNum];// 获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边EdgeData[] edges = getEdges();System.out.println("排序前，图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共" + edges.length); // 12// 按照边的权值大小进行排序(从小到大)sortEdges(edges);System.out.println("排序后，图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共" + edges.length); // 12// 遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {// 获取到第i条边的第一个顶点(起点)int point1 = getPosition(edges[i].start); // point1 = 4// 获取到第i条边的第2个顶点int point2 = getPosition(edges[i].end); // point2 = 5// 获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点int endPointOfPoint1 = getEnd(ends, point1); // endPointOfPoint1 = 4// 获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int endPointOfPoint2 = getEnd(ends, point2); // endPointOfPoint2 = 5// 是否构成回路if (endPointOfPoint1 != endPointOfPoint2) { // 没有构成回路ends[endPointOfPoint1] = endPointOfPoint2; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]rets[index++] = edges[i]; // 有一条边加入到rets数组}}// <E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。// 统计并打印 "最小生成树", 输出 retsSystem.out.println("最小生成树为");for (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}}//创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边
class EdgeData {char start; // 边的一个点char end; // 边的另外一个点int weight; // 边的权值// 构造器public EdgeData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}// 重写toString, 便于输出边信息@Overridepublic String toString() {return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";}}

8、迪杰斯特拉算法

8.1、应用场景(最短路径问题)

  • 看一个应用场景和问题：

    • 战争时期，胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄
    • 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
    • 问：如何计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?
    • 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

8.2、迪杰斯特拉算法介绍

  • 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

8.3、迪杰斯特拉算法过程

  • 两个重要的集合（辅助实现迪杰斯特拉算法）：

    • 设置出发顶点为v，顶点集合V{v1,v2,vi…}，
    • v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di…}，Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)
  • 算法流程
    • 从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
    • 更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
    • 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

8.4、迪杰斯特拉算法图解

  • 在地杰斯特拉算法中，有三个非常重要的数组
class Visited_vertex{//已访问顶点集合public int[] already_arr; //记录各个顶点是否访问过  1表示访问过,0未访问,会动态更新public int[] dis;//记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dispublic int[] pre_visited;//每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新}

  • 以下面这个图为例，该图一共有 { A, B, C, D, E ,F, G } 七个顶点，比如说需要从 G --> C ，G --> D 的最短路径

    • 初始情况：

      • already_arr = { 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 } ，表示当前还未访问过任何顶点
      • dis = { N, N, N, N, N, N, N } ，N 表示出发顶点与目标顶点的距离无穷大，因为后面程序中需要选取最小值，所以初始时，将 dis 全部元素设置成无穷大，很合理
      • pre_visited = { 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 } ，初始值默认为 0 ，我感觉有歧义啊。。。我感觉初始值应该为 -1
    • 以 G 为出发顶点
      • already_arr = { 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 } ，表示顶点 G 已被访问过
      • dis = { N, N, N, N, N, N, 0 } ，顶点 G 就是出发顶点，距离为 0
      • pre_visited = { 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 } ，出发顶点没有前一个顶点

    • 以 G 点为初始顶点，尝试访问其邻接点 { A, B, E, F } ，并找出下一步路径最短的走法

      • already_arr = { 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 } ，现在是在尝试访问顶点 G 的邻接点，并不是真正在访问，所以不能将顶点 { A, B, E, F } 标记为已访问
      • dis = { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 } ，出发顶点 G --> A 的距离最短，并且顶点 A 并没有被访问过，可以选取顶点 A作为下一次的初始顶点
      • pre_visited = { 6, 6, 0, 0, 6, 6, 0 } ，标记顶点 { A, B, E, F } 的前一个顶点为 G

    • 此时在所有路径中，G --> A 路径最短，并且顶点 A 没有被访问过，所以 A 点为初始顶点，尝试访问其邻接点 { B, C, G } ，并找出下一步路径最短的走法

      • already_arr = { 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1 } ，访问过顶点 A 之后，将其标记为已访问
      • 分析 dis 数组的赋值流程：
        • 由于 G 点已经被访问过了，所以不再访问 G 点
        • 尝试走 G --> A --> B 这条路，距离为 2 + 5 = 7 ，但是之前有条路 G --> B 距离为 3 ，所以不做改变
        • 尝试走 G --> A --> C 这条路，距离为 2 + 7 = 9 ，比之前的距离小，选择当前走法，标记出发点 G 到顶点 C 距离为 9 ，标记顶点 C 的前一个节点为顶点 A
        • 综上分析： dis = { 2, 3, 9, N, 4, 6, 0 }
      • pre_visited = { 6, 6, 0, 0, 6, 6, 0 } ，标记顶点C 的前一个顶点为 A

    • 此时在所有路径中，G --> B 路径最短，并且顶点 B 没有被访问过，所以 B 点为初始顶点，尝试访问其邻接点 { A, D, G } ，并找出下一步路径最短的走法

      • already_arr = { 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1 } ，访问过顶点 B 之后，将其标记为已访问
      • 分析 dis 数组的赋值流程：
        • 由于 A 点已经被访问过了，所以不再访问 A 点

          • 为什么不再访问顶点 A ？那万一 G --> B --> A 的距离小于 G --> A 的距离呢？
          • 如果 length(G --> B --> A) < length(G --> A)，那肯定就说明 length(G --> B) < length(G --> A)
          • 那肯定要先走顶点 B ，先走了顶点 A 即说明出发点到顶点 A 的距离是所有路径中最短的那条，所以无需再访问顶点 A
        • 尝试走 G --> B --> D 这条路，距离为 3 + 9 = 12 ，目前来说，出发点距离顶点 D 的最短路径为 12，标记顶点 D 的前一个节点为顶点 B
        • 由于 G 点已经被访问过了，所以不再访问 G 点
        • 综上分析： dis = { 2, 3, 9, 12, 4, 6, 0 }
      • pre_visited = { 6, 6, 0, 1, 6, 6, 0 } ，标记顶点 D 的前一个节点为顶点 B

    • 此时在所有路径中，G --> E 路径最短，并且顶点 E 没有被访问过，所以 E 点为初始顶点，尝试访问其邻接点 { C, F, G } ，并找出下一步路径最短的走法

      • already_arr = { 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1 } ，访问过顶点 E 之后，将其标记为已访问
      • 分析 dis 数组的赋值流程：
        • 尝试走 G --> E --> C 这条路，距离为 4 + 8 = 12 ，但是之前有条路 G --> A --> C 距离为 8 ，所以不做改变
        • 尝试走 G --> E --> F 这条路，距离为 4 + 5 = 9 ，但是之前有条路 G --> F 距离为 6 ，所以不做改变
        • 由于 G 点已经被访问过了，所以不再访问 G 点
        • 综上分析： dis = { 2, 3, 9, 12, 4, 6, 0 }
      • pre_visited = { 6, 6, 0, 1, 6, 6, 0 } ，本次未找到路径举例比上次短的，不做修改

    • 此时在所有路径中，G --> F 路径最短，并且顶点 F 没有被访问过，所以 F 点为初始顶点，尝试访问其邻接点 { E, D, G } ，并找出下一步路径最短的走法

      • already_arr = { 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1 } ，访问过顶点 E 之后，将其标记为已访问
      • 分析 dis 数组的赋值流程：
        • 尝试走 G --> F --> D 这条路，距离为 6 + 4 = 10 ，之前有条路 G --> B --> D 距离为 12 ，这次距离比上次短，选择当前走法，标记出发点 G 到顶点 D 距离为 10 ，标记顶点 D 的前一个节点为顶点 F
        • 由于 E 点已经被访问过了，所以不再访问 E 点
        • 由于 G 点已经被访问过了，所以不再访问 G 点
        • 综上分析： dis = { 2, 3, 9, 10, 4, 6, 0 }
      • pre_visited = { 6, 6, 0, 5, 6, 6, 0 } ，标记顶点 D 的前一个节点为顶点 F

    • 此时在所有路径中，G --> A --> C 路径最短，并且顶点 C 没有被访问过，所以 C 点为初始顶点，尝试访问其邻接点 { A, E } ，发现顶点 { A, E } 均被访问过，说明走到的图的最深处，将顶点 C 标记已访问即可，其他两个数组不作处理

    • 此时在所有路径中，G --> F --> D 路径最短，并且顶点 D 没有被访问过，所以 D 点为初始顶点，尝试访问其邻接点 { B, F } ，发现顶点 { B, F } 均被访问过，说明走到的图的最深处，将顶点 F 标记已访问即可，其他两个数组不作处理

    • 至此，图的广度优先遍历已经完成

  • 假如说有 n 个顶点，来想想循环的结束条件是啥？想想前面的最小生成树，n 个节点最少 n - 1 条边才能将所有顶点连通，所以图的广度优先遍历，最多遍历 n - 1 次，就能将出发顶点和最远的顶点连通

  • 我把图竖着画，是不是就要好理解一些，广度优先可以这样理解：以出发顶点为根节点，将图分成一层一层的结构（就像树那样），禁止产生回溯（一条路径不能走两遍），然后在每层中选取距离最短的路径，这样得到的路径就是最短路径

8.5、迪杰斯特拉算法实现

8.5.1、图的定义

  • VisitedVertex 类用于存储上面所说的三个重要数组：already_arr、pre_visited、dis
  • VisitedVertex 类中还提供了一些方法：
    • isVisited() 方法：判断该顶点是否被访问过
    • updateDis() 方法：更新出发顶点距离当前顶点的距离
    • updatePre() 方法：更新当前顶点的前一个节点
    • getDis() 方法：获取当前顶点与出发顶点之间的距离
    • findNextStartPoint() 方法：寻找下一个初始顶点（当前还未被访问过、并且与出发顶点距离最短的顶点）
    • showArrays() 方法：打印三个重要数组
// 已访问顶点集合
class VisitedVertex {// 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过,0未访问,会动态更新public int[] already_arr;// 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新public int[] pre_visited;// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dispublic int[] dis;//构造器/*** * @param length :表示顶点的个数 * @param index: 出发顶点对应的下标, 比如G顶点，下标就是6*/public VisitedVertex(int length, int index) {this.already_arr = new int[length];this.pre_visited = new int[length];this.dis = new int[length];// 初始化 dis数组Arrays.fill(dis, 65535);this.dis[index] = 0;// 设置出发顶点的访问距离为0this.already_arr[index] = 1; // 设置出发顶点被访问过}/*** 功能: 判断index顶点是否被访问过* @param index* @return 如果访问过，就返回true, 否则访问false*/public boolean isVisited(int index) {return already_arr[index] == 1;}/*** 功能: 更新出发顶点到index顶点的距离* @param index* @param len*/public void updateDis(int index, int len) {dis[index] = len;}/*** 功能: 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点* @param pre* @param index*/public void updatePre(int pre, int index) {pre_visited[pre] = index;}/*** 功能:返回出发顶点到index顶点的距离* @param index*/public int getDis(int index) {return dis[index];}/*** 继续选择并返回新的访问顶点， 比如这里的G 完后，就是 A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)* @return*/public int findNextStartPoint() {int min = 65535, index = 0;for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {min = dis[i];index = i;}}// 更新 index 顶点被访问过already_arr[index] = 1;return index;}//显示最后的结果//即将三个数组的情况输出public void showArrays() {       System.out.println("核心数组的值如下：");// 输出already_arrfor (int i : already_arr) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();// 输出disfor (int i : dis) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();// 输出pre_visitedfor (int i : pre_visited) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();// 为了好看最后的最短距离，我们处理char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };int count = 0;for (int i : dis) {if (i != 65535) {System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ") ");} else {System.out.print("N ");}count++;}System.out.println();System.out.println();}}

8.5.2、迪杰斯特拉算法

  • 迪杰斯特拉算法的流程：

    • 计算初始顶点的邻接点与出发顶点的最短距离，记录在 dis 数组中，并标记当前初始顶点已经被访问
    • 寻找下一个与出发顶点距离最近，并且没有访问过的顶点，作为下一次的初始定点
    • 如此返回
  • 上述操作执行 vertex.length - 1 次，就能保证求得最短路径
class Graph {private char[] vertex; // 顶点数组private int[][] matrix; // 邻接矩阵private VisitedVertex vv; // 已经访问的顶点的集合// 构造器public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;}// 显示结果public void showDijkstra() {vv.showArrays();}// 显示图public void showGraph() {for (int[] link : matrix) {for (int i : link) {System.out.printf("%8d", i);}System.out.println();}}//迪杰斯特拉算法实现/*** * @param index 表示出发顶点对应的下标*/public void dsj(int index) {vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);update(index);// 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点vv.showArrays();for (int j = 1; j < vertex.length; j++) {index = vv.findNextStartPoint();// 选择并返回新的访问顶点update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点vv.showArrays();}}// 更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点,private void update(int index) {int len = 0;// 根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index]行for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {// len 含义是 : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];// 如果j顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到j顶点的距离，就需要更新if (!vv.isVisited(j) && len < vv.getDis(j)) {vv.updatePre(j, index); // 更新j顶点的前驱为index顶点vv.updateDis(j, len); // 更新出发顶点到j顶点的距离}}}
}

8.5.3、代码测试

  • 代码
 public static void main(String[] args) {char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };// 邻接矩阵int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];final int N = 65535;// 表示不可以连接matrix[0] = new int[] { N, 5, 7, N, N, N, 2 };matrix[1] = new int[] { 5, N, N, 9, N, N, 3 };matrix[2] = new int[] { 7, N, N, N, 8, N, N };matrix[3] = new int[] { N, 9, N, N, N, 4, N };matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, N, 5, 4 };matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, N, 6 };matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, N };// 创建 Graph对象Graph graph = new Graph(vertex, matrix);// 测试, 看看图的邻接矩阵是否okgraph.showGraph();// 测试迪杰斯特拉算法graph.dsj(6);// G}
  • 程序运行结果
   65535       5       7   65535   65535   65535       25   65535   65535       9   65535   65535       37   65535   65535   65535       8   65535   6553565535       9   65535   65535   65535       4   6553565535   65535       8   65535   65535       5       465535   65535   65535       4       5   65535       62       3   65535   65535       4       6   65535
核心数组的值如下：
0 0 0 0 0 0 1
2 3 65535 65535 4 6 0
6 6 0 0 6 6 0
A(2) B(3) N N E(4) F(6) G(0) 核心数组的值如下：
1 0 0 0 0 0 1
2 3 9 65535 4 6 0
6 6 0 0 6 6 0
A(2) B(3) C(9) N E(4) F(6) G(0) 核心数组的值如下：
1 1 0 0 0 0 1
2 3 9 12 4 6 0
6 6 0 1 6 6 0
A(2) B(3) C(9) D(12) E(4) F(6) G(0) 核心数组的值如下：
1 1 0 0 1 0 1
2 3 9 12 4 6 0
6 6 0 1 6 6 0
A(2) B(3) C(9) D(12) E(4) F(6) G(0) 核心数组的值如下：
1 1 0 0 1 1 1
2 3 9 10 4 6 0
6 6 0 5 6 6 0
A(2) B(3) C(9) D(10) E(4) F(6) G(0) 核心数组的值如下：
1 1 1 0 1 1 1
2 3 9 10 4 6 0
6 6 0 5 6 6 0
A(2) B(3) C(9) D(10) E(4) F(6) G(0) 核心数组的值如下：
1 1 1 1 1 1 1
2 3 9 10 4 6 0
6 6 0 5 6 6 0
A(2) B(3) C(9) D(10) E(4) F(6) G(0)

8.6、迪杰斯特拉算法全部代码

public class DijkstraAlgorithm {public static void main(String[] args) {char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };// 邻接矩阵int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];final int N = 65535;// 表示不可以连接matrix[0] = new int[] { N, 5, 7, N, N, N, 2 };matrix[1] = new int[] { 5, N, N, 9, N, N, 3 };matrix[2] = new int[] { 7, N, N, N, 8, N, N };matrix[3] = new int[] { N, 9, N, N, N, 4, N };matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, N, 5, 4 };matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, N, 6 };matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, N };// 创建 Graph对象Graph graph = new Graph(vertex, matrix);// 测试, 看看图的邻接矩阵是否okgraph.showGraph();// 测试迪杰斯特拉算法graph.dsj(6);// G}}class Graph {private char[] vertex; // 顶点数组private int[][] matrix; // 邻接矩阵private VisitedVertex vv; // 已经访问的顶点的集合// 构造器public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;}// 显示结果public void showDijkstra() {vv.showArrays();}// 显示图public void showGraph() {for (int[] link : matrix) {for (int i : link) {System.out.printf("%8d", i);}System.out.println();}}//迪杰斯特拉算法实现/*** * @param index 表示出发顶点对应的下标*/public void dsj(int index) {vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);update(index);// 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点vv.showArrays();for (int j = 1; j < vertex.length; j++) {index = vv.findNextStartPoint();// 选择并返回新的访问顶点update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点vv.showArrays();}}// 更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点,private void update(int index) {int len = 0;// 根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index]行for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {// len 含义是 : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];// 如果j顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到j顶点的距离，就需要更新if (!vv.isVisited(j) && len < vv.getDis(j)) {vv.updatePre(j, index); // 更新j顶点的前驱为index顶点vv.updateDis(j, len); // 更新出发顶点到j顶点的距离}}}
}// 已访问顶点集合
class VisitedVertex {// 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过,0未访问,会动态更新public int[] already_arr;// 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新public int[] pre_visited;// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dispublic int[] dis;//构造器/*** * @param length :表示顶点的个数 * @param index: 出发顶点对应的下标, 比如G顶点，下标就是6*/public VisitedVertex(int length, int index) {this.already_arr = new int[length];this.pre_visited = new int[length];this.dis = new int[length];// 初始化 dis数组Arrays.fill(dis, 65535);this.dis[index] = 0;// 设置出发顶点的访问距离为0this.already_arr[index] = 1; // 设置出发顶点被访问过}/*** 功能: 判断index顶点是否被访问过* @param index* @return 如果访问过，就返回true, 否则访问false*/public boolean isVisited(int index) {return already_arr[index] == 1;}/*** 功能: 更新出发顶点到index顶点的距离* @param index* @param len*/public void updateDis(int index, int len) {dis[index] = len;}/*** 功能: 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点* @param pre* @param index*/public void updatePre(int pre, int index) {pre_visited[pre] = index;}/*** 功能:返回出发顶点到index顶点的距离* @param index*/public int getDis(int index) {return dis[index];}/*** 继续选择并返回新的访问顶点， 比如这里的G 完后，就是 A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)* @return*/public int findNextStartPoint() {int min = 65535, index = 0;for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {min = dis[i];index = i;}}// 更新 index 顶点被访问过already_arr[index] = 1;return index;}//显示最后的结果//即将三个数组的情况输出public void showArrays() {       System.out.println("核心数组的值如下：");// 输出already_arrfor (int i : already_arr) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();// 输出disfor (int i : dis) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();// 输出pre_visitedfor (int i : pre_visited) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();// 为了好看最后的最短距离，我们处理char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };int count = 0;for (int i : dis) {if (i != 65535) {System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ") ");} else {System.out.print("N ");}count++;}System.out.println();System.out.println();}}

9、弗洛伊德算法

9.1、应用场景(最短路径问题)

  • 胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)
  • 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
  • 问：如何计算出各村庄到其它各村庄的最短距离?

9.2、弗洛伊德算法介绍

  • 和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名
  • 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
  • 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
  • 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：
    • 迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径；
    • 弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。

9.3、弗洛伊德算法分析

  • 设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik，顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj，顶点vi到vj的路径为Lij，则vi到vj的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径
  • 至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，也是以同样的方式获得

9.4、弗洛伊德算法图解

  • 弗洛伊德算法中有两个核心的二维数组：

    • dis ：二维数组，记录顶点 i 到顶点 j 的距离： dis[i][j] 或 dis[j][i]
    • pre ：二维数组，记录顶点 i 和顶点 j 的前驱顶点：pre[i][j] 或 pre[j][i]
  • 初始状态下，图的邻接矩阵如下和前驱顶点

  • 第一轮循环中，以 A 作为中间顶点，将把 A 作为中间顶点的所有情况进行遍历，更新距离表和前驱关系

    • C --> A --> G ：路径长度为 9 ，顶点 B 和 G 的前驱结点为 A
    • C --> A --> B ：路径长度为 12 ，顶点 C 和 B 的前驱结点为 A
    • G --> A --> B ：路径长度为 7 ，顶点 G 和 B 的前驱结点为 A

  • 第二轮循环中，以 B 作为中间顶点，将把 B 作为中间顶点的所有情况进行遍历，更新距离表和前驱关系
  • 以此类推 … ，更换中间顶点，循环执行操作，直到所有顶点都作为中间顶点更新后，计算结束
  • 为什么这样就能求出图中各个顶点到其他顶点的最短路径？这样来想，我们求出了每个顶点作为其他顶点的中间顶点的最短路径，那此时距离表中的路径值就是各个顶点到其他顶点的最短路径

9.5、弗洛伊德算法编码思路

  • 由上述分析可知，需要三层 for 循环，所以弗洛伊德算法的时间复杂度为 O(n3)
for 顶点 A To 顶点 G {                   // 更换中间顶点for 顶点 A To 顶点 G {                 // 更换起始顶点for 顶点 A To 顶点 G {             // 更换结束顶点if(距离比上次更短){            //起始顶点到结束顶点距离比上次更短更新距离表更新前驱顶点表}}}
}

9.6、弗洛伊德算法代码实现

9.6.1、编写弗洛伊德算法

  • 编写弗洛伊德算法
// 创建图
class Graph {private char[] vertex; // 存放顶点的数组private int[][] dis; // 保存，从各个顶点出发到其它顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点// 构造器/*** * @param length 大小* @param matrix 邻接矩阵* @param vertex 顶点数组*/public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.dis = matrix;this.pre = new int[length][length];// 对pre数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标for (int i = 0; i < length; i++) {Arrays.fill(pre[i], i);}}// 弗洛伊德算法, 比较容易理解，而且容易实现public void floyd() {int len = 0; // 变量保存距离// 对中间顶点遍历， k 就是中间顶点的下标 ，[A, B, C, D, E, F, G] 走一遍for (int k = 0; k < dis.length; k++) { // 从i顶点开始出发，[A, B, C, D, E, F, G] 走一遍for (int i = 0; i < dis.length; i++) {// 到达j顶点，[A, B, C, D, E, F, G] 走一遍for (int j = 0; j < dis.length; j++) {len = dis[i][k] + dis[k][j];// => 求出从i 顶点出发，经过 k中间顶点，到达 j 顶点距离if (len < dis[i][j]) {// 如果len小于 dis[i][j]dis[i][j] = len;// 更新距离pre[i][j] = pre[k][j];// 更新前驱顶点}}}}}// 显示pre数组和dis数组public void show() {for (int k = 0; k < dis.length; k++) {// 先将pre数组输出的一行for (int i = 0; i < dis.length; i++) {System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");}System.out.println();// 输出dis数组的一行数据for (int i = 0; i < dis.length; i++) {System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路径是" + dis[k][i] + ") ");}System.out.println();System.out.println();}}
}

9.6.2、测试代码

  • 代码
public static void main(String[] args) {// 测试看看图是否创建成功char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };// 创建邻接矩阵int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];final int N = 65535;matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 };matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 };matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N };matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N };matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 };matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 };matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 };// 创建 Graph 对象Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);// 调用弗洛伊德算法graph.floyd();graph.show();
}
  • 程序运行结果
A A A F G G A
(A到A的最短路径是0) (A到B的最短路径是5) (A到C的最短路径是7) (A到D的最短路径是12) (A到E的最短路径是6) (A到F的最短路径是8) (A到G的最短路径是2) B B A B G G B
(B到A的最短路径是5) (B到B的最短路径是0) (B到C的最短路径是12) (B到D的最短路径是9) (B到E的最短路径是7) (B到F的最短路径是9) (B到G的最短路径是3) C A C F C E A
(C到A的最短路径是7) (C到B的最短路径是12) (C到C的最短路径是0) (C到D的最短路径是17) (C到E的最短路径是8) (C到F的最短路径是13) (C到G的最短路径是9) G D E D F D F
(D到A的最短路径是12) (D到B的最短路径是9) (D到C的最短路径是17) (D到D的最短路径是0) (D到E的最短路径是9) (D到F的最短路径是4) (D到G的最短路径是10) G G E F E E E
(E到A的最短路径是6) (E到B的最短路径是7) (E到C的最短路径是8) (E到D的最短路径是9) (E到E的最短路径是0) (E到F的最短路径是5) (E到G的最短路径是4) G G E F F F F
(F到A的最短路径是8) (F到B的最短路径是9) (F到C的最短路径是13) (F到D的最短路径是4) (F到E的最短路径是5) (F到F的最短路径是0) (F到G的最短路径是6) G G A F G G G
(G到A的最短路径是2) (G到B的最短路径是3) (G到C的最短路径是9) (G到D的最短路径是10) (G到E的最短路径是4) (G到F的最短路径是6) (G到G的最短路径是0)

10、马踏棋盘算法

10.1、马踏棋盘游戏

  • 马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题
  • 将马随机放在国际象棋的8×8棋盘Board[0～7][0～7]的某个方格中，马按走棋规则(马走日字)进行移动。要求每个方格只进入一次，走遍棋盘上全部64个方格
  • 游戏演示: http://www.4399.com/flash/146267_2.htm

10.2、马踏棋盘代码思路

  • 马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是图的深度优先搜索(DFS)的应用。为啥是图的深度优先搜索？
  • 如果使用回溯（就是深度优先搜索）来解决，假如马儿踏了53个点，如图：走到了第53个，坐标(1, 0)，发现已经走到尽头，没办法，那就只能回退了，查看其他的路径，就在棋盘上不停的回溯……
  • 可以使用前面的游戏来验证算法是否正确。

  • 编码思路

    • 创建棋盘 chessBoard，是一个二维数组
    • 将当前位置设置为已经访问，然后根据当前位置，计算马儿还能走哪些位置，并放入到一个集合中(ArrayList)，下一步可选位置最多有8个位置， 每走一步，就使用 step+1
    • 遍历ArrayList中存放的所有位置，看看哪个可以走通，如果走通，就继续，走不通，就回溯
    • 判断马儿是否完成了任务，使用 step 和应该走的步数比较 ， 如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置 0
    • 注意：马儿不同的走法（策略），会得到不同的结果，效率也会有影响(优化)

10.3、马踏棋盘代码实现

  • 如下是马踏棋盘算法代码实现，在递归和回溯的过程中，如何判断马儿是否已经完成了任务？如下两个条件满足其一即可：

    • 已经走够了步数
    • 完成标志位 finished == true
  • 如果回溯过程中，发现马儿并没有完成任务，则说明此次递归过程失败，应该棋盘该位置清零，并且标记当前位置并未被访问过
public class HorseChessboard {private static int X; // 棋盘的列数private static int Y; // 棋盘的行数// 创建一个数组，标记棋盘的各个位置是否被访问过private static boolean visited[];// 使用一个属性，标记是否棋盘的所有位置都被访问private static boolean finished; // 如果为true,表示成功public static void main(String[] args) {System.out.println("骑士周游算法，开始运行~~");// 测试骑士周游算法是否正确X = 8;Y = 8;int row = 1; // 马儿初始位置的行，从1开始编号int column = 1; // 马儿初始位置的列，从1开始编号// 创建棋盘int[][] chessboard = new int[X][Y];visited = new boolean[X * Y];// 初始值都是false// 测试一下耗时long start = System.currentTimeMillis();traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1);long end = System.currentTimeMillis();System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒");// 输出棋盘的最后情况for (int[] rows : chessboard) {for (int step : rows) {System.out.print(step + "\t");}System.out.println();}}/*** 功能： 根据当前位置(Point对象)，计算马儿还能走哪些位置(Point)，并放入到一个集合中(ArrayList), 最多有8个位置* @param curPoint* @return*/public static ArrayList<Point> next(Point curPoint) {// 创建一个ArrayListArrayList<Point> ps = new ArrayList<Point>();// 创建一个PointPoint p1 = new Point();// 表示马儿可以走5这个位置if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走6这个位置if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走7这个位置if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走0这个位置if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走1这个位置if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走2这个位置if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走3这个位置if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走4这个位置if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {ps.add(new Point(p1));}return ps;}/*** 完成骑士周游问题的算法* @param chessboard 棋盘* @param row 马儿当前的位置的行 从0开始 * @param column 马儿当前的位置的列  从0开始* @param step 是第几步 ,初始位置就是第1步 */public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {chessboard[row][column] = step;//row = 4 X = 8 column = 4 = 4 * 8 + 4 = 36visited[row * X + column] = true; //标记该位置已经访问//获取当前位置可以走的下一个位置的集合 ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));//遍历 pswhile(!ps.isEmpty()) {Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置//判断该点是否已经访问过if(!visited[p.y * X + p.x]) {//说明还没有访问过traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);}}//判断马儿是否完成了任务，使用   step 和应该走的步数比较 ， //如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将棋盘该位置设置为0//说明: step < X * Y  成立的情况有两种//1. 棋盘到目前位置,仍然没有走完//2. 棋盘处于一个回溯过程if(step < X * Y && !finished ) {chessboard[row][column] = 0;visited[row * X + column] = false;} else {finished = true;}}}
  • 程序运行结果
骑士周游算法，开始运行~~
共耗时: 27099 毫秒
1   8   11  16  3   18  13  64
10  27  2   7   12  15  4   19
53  24  9   28  17  6   63  14
26  39  52  23  62  29  20  5
43  54  25  38  51  22  33  30
40  57  42  61  32  35  48  21
55  44  59  50  37  46  31  34
58  41  56  45  60  49  36  47

10.4、马踏棋盘代码优化

  • 上面的算法那由于回溯过程过多，算法用时长，我们使用贪心算法（greedyalgorithm）进行优化。
  • 马儿的下一步可能有很多种选择，我们应该怎么选择其下一步？
    • 选择下一步的下一步走法尽可能少的，哈哈，我都给自己说晕了，这样尽可能减少递归的回溯，可明显提高算法速度
    • ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row)); ps 是当前步骤的下一步走法的集合，我们需要对 ps 中所有的 Point 的下一步的所有集合的数目，进行非递减排序，就 ok 了
public class HorseChessboard {private static int X; // 棋盘的列数private static int Y; // 棋盘的行数// 创建一个数组，标记棋盘的各个位置是否被访问过private static boolean visited[];// 使用一个属性，标记是否棋盘的所有位置都被访问private static boolean finished; // 如果为true,表示成功public static void main(String[] args) {System.out.println("骑士周游算法，开始运行~~");// 测试骑士周游算法是否正确X = 8;Y = 8;int row = 1; // 马儿初始位置的行，从1开始编号int column = 1; // 马儿初始位置的列，从1开始编号// 创建棋盘int[][] chessboard = new int[X][Y];visited = new boolean[X * Y];// 初始值都是false// 测试一下耗时long start = System.currentTimeMillis();traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1);long end = System.currentTimeMillis();System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒");// 输出棋盘的最后情况for (int[] rows : chessboard) {for (int step : rows) {System.out.print(step + "\t");}System.out.println();}}/*** 功能： 根据当前位置(Point对象)，计算马儿还能走哪些位置(Point)，并放入到一个集合中(ArrayList), 最多有8个位置* @param curPoint* @return*/public static ArrayList<Point> next(Point curPoint) {// 创建一个ArrayListArrayList<Point> ps = new ArrayList<Point>();// 创建一个PointPoint p1 = new Point();// 表示马儿可以走5这个位置if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走6这个位置if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走7这个位置if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走0这个位置if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走1这个位置if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走2这个位置if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走3这个位置if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {ps.add(new Point(p1));}// 判断马儿可以走4这个位置if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {ps.add(new Point(p1));}return ps;}/*** 完成骑士周游问题的算法* @param chessboard 棋盘* @param row 马儿当前的位置的行 从0开始 * @param column 马儿当前的位置的列  从0开始* @param step 是第几步 ,初始位置就是第1步 */public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {chessboard[row][column] = step;//row = 4 X = 8 column = 4 = 4 * 8 + 4 = 36visited[row * X + column] = true; //标记该位置已经访问//获取当前位置可以走的下一个位置的集合 ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));//对ps进行排序,排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步可走位置的数目，进行非递减排序sort(ps);//遍历 pswhile(!ps.isEmpty()) {Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置//判断该点是否已经访问过if(!visited[p.y * X + p.x]) {//说明还没有访问过traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);}}//判断马儿是否完成了任务，使用   step 和应该走的步数比较 ， //如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将棋盘该位置设置为0//说明: step < X * Y  成立的情况有两种//1. 棋盘到目前位置,仍然没有走完//2. 棋盘处于一个回溯过程if(step < X * Y && !finished ) {chessboard[row][column] = 0;visited[row * X + column] = false;} else {finished = true;}}//根据当前这个一步的所有的下一步的选择位置，进行非递减排序, 减少回溯的次数public static void sort(ArrayList<Point> ps) {ps.sort(new Comparator<Point>() {@Overridepublic int compare(Point o1, Point o2) {//获取到o1的下一步的所有位置个数int count1 = next(o1).size();//获取到o2的下一步的所有位置个数int count2 = next(o2).size();return count1 - count2;}});}
}
  • 程序运行结果
骑士周游算法，开始运行~~
共耗时: 22 毫秒
1   16  37  32  3   18  47  22
38  31  2   17  48  21  4   19
15  36  49  54  33  64  23  46
30  39  60  35  50  53  20  5
61  14  55  52  63  34  45  24
40  29  62  59  56  51  6   9
13  58  27  42  11  8   25  44
28  41  12  57  26  43  10  7

第 14 章 程序员常用 10 种算法相关推荐

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