程序员常用十大算法（上）

1、二分查找算法(非递归实现)

1.1 二分查找算法(非递归)介绍

我们以前了解过二分查找算法，但是使用的是递归实现，下面我们了解二分查找算法的非递归实现
(注意) ：二分查找算法只适用于有序的数列。对于无序数列，我们需要先进行排序。
二分查找算法1的运行时间为对数时间O(㏒₂n)，即查找到目标位置最多只需要㏒₂n 步。

1.2 二分查找算法的非递归代码实现

public class BinarySearchNoRecur {
public static void main(String[] args) {//测试int[] arr = {1, 3, 8, 10, 11, 67, 100};int index = binarySearch2(arr, -100, 0, arr.length - 1);System.out.println("index=" + index);//}
//二分查找的非递归实现
/*** @param arr    待查找的数组, arr是升序排序* @param target 需要查找的数* @return 返回对应下标，-1表示没有找到*/public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
int left = 0;int right = arr.length - 1;while (left <= right) { //说明继续查找int mid = (left + right) / 2;if (arr[mid] == target) {return mid;} else if (arr[mid] > target) {right = mid - 1;//需要向左边查找} else {left = mid + 1; //需要向右边查找}}return -1;}
//二分查找的递归实现public static int binarySearch2(int[] arr, int target, int left, int right) {int mid = (left + right) / 2;if (target == arr[mid]) {return mid;}if (left < right){if (arr[mid] > target) {return binarySearch2(arr, target, left, mid - 1);} else if (arr[mid] < target) {return binarySearch2(arr, target, mid + 1, right);}}else {return -1;}return -1;}
}

2、分治算法

2.1 分治算法介绍

1）分治算法是一种很重要的算法。字面上的解释就是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题拆分成更小的子问题~~~ 知道最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅里叶变换(快速傅里叶变换)...

2）分治算法可以求解的一些经典问题

二分搜索
大整数乘法
棋盘覆盖
合并排序
快速排序
线性时间选择
最接近点对问题
循环赛日程表
汉诺塔

2.2 分治算法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤

分解：将原问题分解成若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个问题
合并：将各个子问题的解合并成原问题的解

2.3 分治算法实践——汉诺塔

汉诺塔的传说

汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64 片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。假如每秒钟一次，共需多长时间呢？移完这些金片需要5845.54 亿年以上，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54 亿年，地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。
汉诺塔的思路分析

1）如果是有一个盘， A->C

如果我们有 n>=2 情况，我们总是可以看做事两个盘，1.最下面的盘，2.上面的盘

2）先把最上面的盘 A->B

3）把最下面的盘 A->C

4）把B塔所有盘从B->C

2.4 代码实现

public class Hanoitower {
public static void main(String[] args) {hanoiTower(10, 'A', 'B', 'C');}
//汉诺塔的移动的方法//使用分治算法
public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) {//如果只有一个盘if(num == 1) {System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c);} else {//如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘//1. 先把 最上面的所有盘 A->B， 移动过程会使用到 chanoiTower(num - 1, a, c, b);//2. 把最下边的盘 A->CSystem.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c);//3. 把B塔的所有盘 从 B->C , 移动过程使用到 a 塔hanoiTower(num - 1, b, a, c);}}
}

3、动态规划算法

3.1 应用场景——背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅，现在又如下物品

物品	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑(L)	3	2000

1）要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出

2）要求装入的物品不能重复

3.2 动态规划算法介绍

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想事：将 大问题划分为小问题进行解决，从而进一步获取最优解的处理算法
动态规划算法和分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法的不用是：适用于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

3.3 动态规划算法实践—背包问题

有一个背包，容量为4磅，现有如下物品

	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑(L)	3	2000

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

3.4 思路分析及代码实现

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
这里的问题属于01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01 背包。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i 个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n 个物品，设v[i]、w[i]分别为第i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令vi 表示在前i 个物品中能够装入容量为j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i] [0]=v[0] [j]=0; //表示填入表第一行和第一列是0 (2) 当w[i]> j 时：v[i] [j]=v[i-1] [ j ] // 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略 (3) 当j>=w[i]时： v[i] [j]=max{v[i-1] [j], v[i]+v[i-1] [j-w[i]]} // 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量, // 装入的方式: v[i-1] [j]：就是上一个单元格的装入的最大值 v[i] : 表示当前商品的价值 v[i-1] [j-w[i]] ：装入i-1 商品，到剩余空间j-w[i]的最大值当j>=w[i]时： vi=max{v[i-1] [j], v[i]+v[i-1] [j-w[i]]}

代码实现：

public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint[] w = {1, 4, 3};//物品的重量int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]int m = 4; //背包的容量int n = val.length; //物品的个数


//创建二维数组，//v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值int[][] v = new int[n+1][m+1];//为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组int[][] path = new int[n+1][m+1];
//初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0for(int i = 0; i < v.length; i++) {v[i][0] = 0; //将第一列设置为0}for(int i=0; i < v[0].length; i++) {v[0][i] = 0; //将第一行设置0}

//根据前面得到公式来动态规划处理for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的//公式if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]v[i][j]=v[i-1][j];} else {//说明://因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];//把当前的情况记录到pathpath[i][j] = 1;} else {v[i][j] = v[i - 1][j];}
}}}
//输出一下v 看看目前的情况for(int i =0; i < v.length;i++) {for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {System.out.print(v[i][j] + " ");}System.out.println();}
System.out.println("============================");//输出最后我们是放入的哪些商品//遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
//      for(int i = 0; i < path.length; i++) {
//          for(int j=0; j < path[i].length; j++) {
//              if(path[i][j] == 1) {
//                  System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
//              }
//          }
//      }
//动脑筋int i = path.length - 1; //行的最大下标int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找if(path[i][j] == 1) {System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);j -= w[i-1]; //w[i-1]}i--;}
}

}

4、KMP算法

4.1 应用场景—字符串匹配问题

字符串匹配问题
- 有一个字符串 str1= ""硅硅谷尚硅谷你尚硅尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好""，和一个子串 str2="尚硅谷你尚硅你"
- 现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1

4.2 暴力匹配算法

如果用暴力匹配的思路，并假设现在str1 匹配到 i 位置，子串str2 匹配到 j 位置，则有:

如果当前字符匹配成功（即str1[i] == str2[j]），则i++，j++，继续匹配下一个字符
如果失配（即str1[i]! = str2[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为0。
用暴力方法解决的话就会有大量的回溯，每次只移动一位，若是不匹配，移动到下一位接着判断，浪费了大量的时间。(不可行!)
暴力匹配算法实现.

public class ViolenceMatch {public static void main(String[] args) {String str1 = "硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好";String str2 = "尚硅谷你尚硅你1";int index = violenceMatch(str1, str2);System.out.println("index = " + index);}
public static int violenceMatch(String str1,String str2) {char[] s1 = str1.toCharArray();char[] s2 = str2.toCharArray();
int s1Len = s1.length;int s2Len = s2.length;
int i = 0;int j = 0;while (i < s1Len && j < s2Len) {if (s1[i] == s2[j]) {i++;j++;}else {i = i - j + 1;j = 0;}}if (j == s2Len) {return i - j;}else {return -1;}}
}

4.3 KMP算法介绍

1) KMP 是一个解决模式串在文本串是否出现过，如果出现过，最早出现的位置的经典算法 2) Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP 算法”，常用于在一个文本串S 内查找一个模式串P 的出现位置，这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于1977 年联合发表，故取这3 人的姓氏命名此算法. 3) KMP 方法算法就利用之前判断过信息，通过一个next 数组，保存模式串中前后最长公共子序列的长度，每次回溯时，通过next 数组找到，前面匹配过的位置，省去了大量的计算时间 4) 参考资料：很详尽KMP算法（厉害） - ZzUuOo666 - 博客园

4.4 KMP算法最佳应用—字符串匹配问题

字符串匹配问题： 1) 有一个字符串 str1= "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，和一个子串 str2="ABCDABD" 2) 现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1 3) 要求：使用KMP 算法完成判断，不能使用简单的暴力匹配算法.

思路分析图解

举例来说，有一个字符串 Str1 = “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，判断，里面是否包含另一个字符串 Str2 = “ABCDABD”？

首先，用Str1 的第一个字符和Str2 的第一个字符去比较，不符合，关键词向后移动一位

重复第一步，还是不符合，再后移

一直重复，直到Str1 有一个字符与Str2 的第一个字符符合为止

接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是符合。

遇到Str1 有一个字符与Str2 对应的字符不符合

这时候，想到的是继续遍历Str1 的下一个字符，重复第1 步。(其实是很不明智的，因为此时BCD 已经比较过了，没有必要再做重复的工作，一个基本事实是，当空格与D 不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。 KMP 算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。)

怎么做到把刚刚重复的步骤省略掉？可以对Str2 计算出一张《部分匹配表》，这张表的产生在后面介绍

已知空格与D 不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B 对应的”部分匹配值”为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动 4 位。

因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（”AB”），对应的”部分匹配值” 为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移 2 位。

因为空格与A 不匹配，继续后移一位

逐位比较，直到发现C 与D 不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动 4 位。

逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动 7 位，这里就不再重复了。

介绍《部分匹配表》怎么产生的先介绍前缀，后缀是什么

“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例，－”A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；－”AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；－”ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；－”ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；－”ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为1；－”ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为2；－”ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。

”部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动 4 位（字符串长度- 部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。

到此KMP 算法思想分析完毕!

4.5 代表实现

public class KMPAlgorithm {
public static void main(String[] args) {String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";String str2 = "ABCDABD";//String str2 = "BBC";
int[] next = kmpNext("ABCDABD"); //[0, 1, 2, 0]System.out.println("next=" + Arrays.toString(next));
int index = kmpSearch(str1, str2, next);System.out.println("index=" + index); // 15了

}
//写出我们的kmp搜索算法/**** @param str1 源字符串* @param str2 子串* @param next 部分匹配表, 是子串对应的部分匹配表* @return 如果是-1就是没有匹配到，否则返回第一个匹配的位置*/public static int kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) {
//遍历for(int i = 0, j = 0; i < str1.length(); i++) {
//需要处理 str1.charAt(i) ！= str2.charAt(j), 去调整j的大小//KMP算法核心点, 可以验证...while( j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) {j = next[j-1];}
if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) {j++;}if(j == str2.length()) {//找到了 // j = 3 ireturn i - j + 1;}}return  -1;}
//获取到一个字符串(子串) 的部分匹配值表public static  int[] kmpNext(String dest) {//创建一个next 数组保存部分匹配值int[] next = new int[dest.length()];next[0] = 0; //如果字符串是长度为1 部分匹配值就是0for(int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) {//当dest.charAt(i) != dest.charAt(j) ，我们需要从next[j-1]获取新的j//直到我们发现 有  dest.charAt(i) == dest.charAt(j)成立才退出//这时kmp算法的核心点while(j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) {j = next[j-1];}
//当dest.charAt(i) == dest.charAt(j) 满足时，部分匹配值就是+1if(dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) {j++;}next[i] = j;}return next;}
}

5、贪心算法

5.1 应用场景—集合覆盖问题

假设存在下面需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号

5.2 贪心算法介绍

1) 贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择，从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法。

2) 贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果

5.3 贪心算法最佳应用—集合覆盖

1) 假设存在如下表的需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号

2) 思路分析:

 如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢，使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合，这被称为幂集。假
设总的有n 个广播台，则广播台的组合总共有2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算10 个子集，如图:

 使用贪婪算法，效率高:
1) 目前并没有算法可以快速计算得到准备的值，使用贪婪算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高。选择策略上，因为需要覆盖全部地区的最小集合:
2) 遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区，但没有关系）
3) 将这个电台加入到一个集合中(比如ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
4) 重复第1 步直到覆盖了全部的地区

图解：

代码实现：

public class GreedyAlgorithm {public static void main(String[] args) {//创建广播电台,放入到MapHashMap<String,HashSet<String>> broadcasts = new HashMap<String, HashSet<String>>();//将各个电台放入到broadcastsHashSet<String> hashSet1 = new HashSet<String>();hashSet1.add("北京");hashSet1.add("上海");hashSet1.add("天津");HashSet<String> hashSet2 = new HashSet<String>();hashSet2.add("广州");hashSet2.add("北京");hashSet2.add("深圳");HashSet<String> hashSet3 = new HashSet<String>();hashSet3.add("成都");hashSet3.add("上海");hashSet3.add("杭州");HashSet<String> hashSet4 = new HashSet<String>();hashSet4.add("上海");hashSet4.add("天津");HashSet<String> hashSet5 = new HashSet<String>();hashSet5.add("杭州");hashSet5.add("大连");//加入到mapbroadcasts.put("K1", hashSet1);broadcasts.put("K2", hashSet2);broadcasts.put("K3", hashSet3);broadcasts.put("K4", hashSet4);broadcasts.put("K5", hashSet5);//allAreas 存放所有的地区HashSet<String> allAreas = new HashSet<String>();allAreas.add("北京");allAreas.add("上海");allAreas.add("天津");allAreas.add("广州");allAreas.add("深圳");allAreas.add("成都");allAreas.add("杭州");allAreas.add("大连");//创建ArrayList, 存放选择的电台集合ArrayList<String> selects = new ArrayList<String>();//定义一个临时的集合， 在遍历的过程中，存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖的地区的交集HashSet<String> tempSet = new HashSet<String>();//定义一个maxTemp，存放最大的tempSet的未被覆盖的地区的数量int maxTemp;//定义给maxKey ， 保存在一次遍历过程中，能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key//如果maxKey 不为null , 则会加入到 selectsString maxKey = null;while(allAreas.size() != 0) { // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区//每进行一次while,需要maxKey = null;maxTemp = 0;//遍历 broadcasts, 取出对应keyfor(String key : broadcasts.keySet()) {//每进行一次fortempSet.clear();//当前这个key能够覆盖的地区HashSet<String> areas = broadcasts.get(key);tempSet.addAll(areas);//求出tempSet 和   allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSettempSet.retainAll(allAreas);//如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量，比maxKey指向的集合地区还多//就需要重置maxKey// tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size()) 体现出贪心算法的特点,每次都选择最优的if(tempSet.size() > 0 &&(maxKey == null || tempSet.size() > maxTemp)){maxKey = key;maxTemp = tempSet.size();}}//maxKey != null, 就应该将maxKey 加入selectsif(maxKey != null) {selects.add(maxKey);//将maxKey指向的广播电台覆盖的地区，从 allAreas 去掉allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));}}System.out.println("得到的选择结果是" + selects);//[K1,K2,K3,K5]}}

5.4 贪心算法注意事项和细节

1) 贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果
2) 比如上题的算法选出的是K1, K2, K3, K5，符合覆盖了全部的地区
3) 但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区，如果K2 的使用成本低于K1,那么我们上题的 K1, K2, K3,K5 虽然是满足条件，但是并不是最优的.