01 概率论的开端

概率论是一门源自生活的学科，但是，直到1654年，帕斯卡和费马才开始对概率论进行实质性的研究，也标志着概率论正式的成为了数学的一个分支。

人们最早熟悉和认识到概率是从身边的等可能事件开始的，比如：抛硬币，掷骰子等。正因为如此，赌徒对概率论的发展起到了不可磨灭的贡献。

时间回到1654年，梅内骑士(Chevalier de Méré)是一个资深赌徒。别看他名字里有骑士，但是他并非出身贵族。梅内骑士是一位作家，喜欢在自己的文字中称呼自己为梅内骑士(他曾在梅内学习)。久而久之，他的朋友们就称呼他为梅内骑士了。其中，也包括大数学家帕斯卡。准确的说，帕斯卡和梅内骑士是赌友。

帕斯卡

梅内骑士可能平时输钱比较多，所以痛定思痛，非常注重赌局问题的思考。他曾经向帕斯卡请教过一些问题，比较出名的是点数问题。点数问题：

有两个人A和B对赌，每人各下注32个硬币，一共64个硬币。A和B商定，一局游戏谁赢了谁就记一分。先累计到三分的一方获胜，赢得所有的硬币。

梅内骑士的问题是，如果突然发生了一些情况，赌局被迫结束。这时候，A已经赢了两场，积两分；B只赢了一场，积一分。那么，64个硬币应该怎么分？

帕斯卡觉得这个问题很有意思。他和自己的朋友费马(号称“业余数学之王”，提出了费马大定理)进行了多次书信交流，并都给出了解答的思路。

02 等可能概型

概率论最先研究的就是等可能概型，如抛硬币和掷骰子。在可能概型中，所有结果出现的可能性都是相等的。比如说，抛硬币只会出现正面和反面(别起哄，说可能竖起来)，掷骰子只会有1到6六个面。所有可能结果的结合，概率论中叫样本空间。每一种结果就是一个基本事件。每个基本事件由于发生的可能性相等，则概率P = 1 / n。其中，n是所有基本事件的个数。

以抛硬币为例，假设这个硬币是均匀的。抛硬币出现正面或者反面的概率都是0.5。这个假设很重要，现实生活中，硬币或多或少都不规则，出现正反的概率都不会正好是0.5。

硬币正反面理论值

我们都知道，抛一次硬币不是出现正面，就是反面。但是，如果抛100次硬币，正面和反面出现的可能性会怎么样变化呢？下面我们利用python做一个动图。

#作者：逃学博士，转载请注明出处head_prob = 0.5trial_times = 100head = 0def get_plot(times): ax.clear() global head, head_prob if random.random() <= head_prob: head += 1 x = [1, 2] head_exp_prob = np.round(head/times, 2) prob_exp_dist = [head_exp_prob, 1-head_exp_prob] ax.bar(x, prob_exp_dist, width=0.5, color='#00d0a1') for i in range(len(x)): ax.text(x=x[i]-0.04, y=prob_exp_dist[i]+0.04, s=np.round(prob_exp_dist[i], 4), size=10) ax.set_title('试验概率') ax.set_ylabel('概率') ax.set_xticks(x) ax.set_xticklabels(['正面', '反面']) ax.set_ylim((0, 1.2)) anim = animation.FuncAnimation(fig, get_plot, frames=list(range(1, trial_times)))anim.save('flip_coin.gif', writer='pillow')

100次抛硬币正反出现概率

当我们连续抛一百次硬币，正反面出现的概率就非常接近理论值了。同时，这个过程反过来也可以检验硬币是不是均匀，抛硬币是不是公平。

被动过手脚的硬币，正面出现概率为0.7

当你统计后发现，抛硬币正反概率如上图所示，你就可以自信的说这个硬币有问题。

不要以为这没啥用，如果有一点你发现赌场里的一个骰子出现6的概率特别高，而统计结果证明了你的猜想。那么，你就可以赢钱了。

03 数学期望

其实，数学期望已经包含在帕斯卡和费马解决点数问题的思路里了。当时，费马收到帕斯卡的来信之后，针对点数问题给出了如下的解答：

费马的解答：

费马想A和B谁先累计到3分就算赢。现在，A积2分，B积1分。也就是说，赌局一定在接下来的两局之后结束。不管是A赢一局，还是B连赢两局。

这样说来，这两局比赛可能出现的结果是，第一局A赢，第二局也是A赢(虽然第一局A赢，A已经到3分了)，记做AA，其他情况是AB，BA，BB，一共四种情况。

费马想，四种情况中，出现AA，AB和BA这三种情况，都是A赢，只有BB一种情况，B才能赢。那么，赌局中途结束的话，A应该拿64 * 3/4 = 48个硬币，B拿16个硬币。

帕斯卡的解答：

不同于费马，帕斯卡从另外一个角度给出了解答，也隐藏了一个重要的概念：数学期望。

帕斯卡想：接下来的第一局，如果A赢了，则A拿走全部64个硬币，B拿0个硬币。如果B赢了，则A和B各积两分，这时候比较中断，A和B应该平分硬币，各拿32个。也就是说，第一局游戏不管怎么样，A一定可以拿32个硬币。

第二局，A和B谁赢就可以拿走32个硬币。而A和B的胜率均为50%。那么，A和B应该平分这32个硬币。所以，A总共应该拿32 + 16 = 48个硬币，B拿16个硬币。

04 掷骰子的数学期望

数学期望反映的是随机变量平均取值的数学特征，公式如下。文字表述就是所有可能出现的结果与出现的概率乘积的和。

拿掷骰子举例，总共可能出现的情况有6种，1到6个数。而每个面出现概率都是1/6。

掷骰子

根据公式，数学期望 = 1/6 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5。 那么，当我们连续掷骰子两百次，得到的平均数是不是3.5呢？

200次掷骰子

我们可以看到，在开始的10几次掷骰子之后，骰子的平均数波动很大。但是随着掷骰子次数增加，骰子的平均值则趋近3.5了(图中红线)。

05 结束语

概率论、数学以及其他任何学科，都是一代一代人的智慧。而我们在学习知识的时候，去了解知识点背后的历史，这样对于理解学科的精髓注意良多。

技术的发展以及可以让我们不用通过大量重复的试验，而通过编程去可视化知识点了。我们应该多多利用这些工具来帮助学习。如果你没有把这个基本的，但有些不那么自然的基础数学概率方法变成你生活的一部分，那么在漫长的人生中，你们将会像一个踢屁股比赛中的独腿人。这等于将巨大的优势拱手送给了他人。

—— 查理.芒格

查理.芒格提到了100多种思维模型，而帕斯卡-费马系统也在其中。最基本的概率论知识同样蕴含着无穷的魅力。