长沙理工大学--论演员的自我修养---杨辉三角+卢卡斯定理

2024-05-09 13:59:47

长沙理工大学第十四届程序设计竞赛----K

http://csustacm.com:4803/contest/32/problem/K

论演员的自我修养

Sample Input 1
10 10 4 5
Sample Output 1
10

解题思路：

这个题，我们手算一下，算出前几个情况，找下规律

手算几项画个表格如下

很容易能找出规律

规律就是：到达点（X,Y）的步数a[X][Y]等于 x<X ,y<Y的所有点之和再+1，如图，红色的等于所有橙色加起来+1。

有了这个规律我们就能算出到(x,y)所需步数了

但是复杂度有点高，再一看数据范围，1e5，肯定不行。

怎么呢？我们多写几个观察一下这些数据

1 1 1 1 1 ......

1 2 3 4 5......

1 3 6 10 15.....

1 4 10 20 35.....

如果你对数学很敏感的话，到这里就能看出来这些数字很特殊

这些数字就是杨辉三角（下图是杨辉三角，斜着看）

我们可以把我们表中的每一个数对应到杨辉三角中

根据对应关系，我们不难发现，表中坐标（x,y）的值就对应杨辉三角中坐标（x+y-3,x-1）。

最重要的是，杨辉三角是有公式的

杨辉三角中，第n行的m个数值为 C(n-1，m-1)

所以，这个题的答案就出来了，走到（x,y）所需步数就是C( x+y-4 , x-2 ) (x,y>2)

然后就是求组合数的问题了，一发卢卡斯模板就好了

（关于卢卡斯定理，点击跳转）

其实这个题范围不大，不用卢卡斯也行，扩展欧几里得或者费马小定理求个逆元就过了

AC代码

#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
ll mm[100007];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}ll r=exgcd(b,a%b,x,y);ll t=y;y=x-(a/b)*y;x=t;return r;
}
ll c(ll n,ll m){if(n<m)return 0;ll fz=1,fm=1;for(ll i=n;i>=1;i--){fz*=i;fz%=mod;}for(ll i=m;i>=1;i--){fm*=i;fm%=mod;}for(ll i=n-m;i>=1;i--){fm*=i;fm%=mod;}ll x,y,ans;exgcd(fm,mod,x,y);x=(x+mod)%mod;ans=x*fz%mod;return ans;
}
ll Lucas(ll n, ll m){return m ? Lucas(n/mod, m/mod) * c(n%mod, m%mod) % mod : 1;
}
int main(){ll x,y,n,m;scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&x,&y);if(x==1||y==1)printf("0\n");else if(x==2||y==2)printf("1\n");else printf("%lld\n",Lucas(x+y-4,x-2));
}

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