数据结构平衡二叉树avl c++

平衡二叉树：一颗空树，或者是具有以下性质的二叉树

左子树和右子树都是平衡二叉树
左子树和右子树的深度只差不超过1

把二叉树节点的平衡因子BF(Balance Factor)定义为该节点的左子树深度减去右子树深度，则平衡二叉树所有结点的平衡因子只能是-1，0，1。只要有一个结点的平衡因子绝对值大于一就是不平衡的；

平衡二叉树的构造

对二叉树结点做一下定义，bf用来记录结点的平衡因子

1 typedef struct BSTNode{
2     int val;
3     int bf;
4     struct BSTNode *lchild, *rchild;
5 }BSTNode, *BSTree;

在插入新结点的过程中，会出现平衡因子绝对值大于2的情况，这时就需要进行一定的条件，让二叉树保持平衡。失去平衡后进行的调整规律可以归纳为以下四种

单项右旋处理
单项左旋处理
双向(先左后右)旋转处理
双向(先右后左)旋转处理

单项右旋处理， p为失去平衡的结点。右旋的思路就是

1 void R_Roate(BSTree& p){
2     BSTree temp = p->lchild;
3     p->lchild = temp->rchild;
4     temp->rchild = p;
5     p = temp;
6 }

向二叉树中插入结点：先找到结点插入的位置，建立该结点。调整相关结点的平衡因子。若导致结点失去平衡则需要进行选择，让二叉树恢复平衡。如何找到新结点插入位置？如果val的值比当前结点的值小，则继续在当前结点的左子树中寻找插入位置。如果val的值比当前结点的值大，则继续在当前结点的右子树中寻找插入位置。直到找到一个空的位置位置。当然如果发现存在相同的val，则表示已经存在于二叉树中，插入失败；　　那么又如何判断二叉树是否失去平衡呢？当当前结点的平衡因子是0的时候，表示该节点左右两边的高度一致，插入一个结点并不会改变当前结点的平衡性，但是会改变当前结点的平衡因子；当当前结点的平衡因子为1的时候，表示当前节点的左子树比右子树高，若在当前结点左边插入结点，必定会导致当前结点的左子树高度和右子树高度相差大于2. 引起不平衡。需要进行旋转来让二叉树恢复平衡，如果在右子树插入结点，又会让当前结点的的平衡因子变为0；平衡因子为-1的分析过程和前面类似。参数taller用来标志插入新结点是否让二叉树高度增加，可以减少程序的计算量

 1 bool InsertAVL(BSTree& T, int val, bool& taller){
 2     if(!T){//插入新结点，树变高
 3         T = (BSTree) malloc(sizeof(BSTNode));
 4         T->val = val; T->bf = EH; T->lchild = T->rchild = NULL;
 5         taller = true;
 6     }else{
 7         if(val==T->val){taller = false; return false;} //如果val存在于二叉树中， 则插入失败
 8         if(val<T->val){ //若果val比当前结点的值小，则把新结点插入到当前结点的左子树中
 9             if(!InsertAVL(T->lchild, val, taller)) return false;
10             if(taller){
11             switch(T->bf){    //插入新结点后要对当前结点的平衡因子做出相应的修改
12             case LH:{LeftBalance(T); taller=false; break;}
13             case EH:{taller = true; T->bf = LH; break;}
14             case RH:{taller = false; T->bf = EH; break;}
15             }}
16         }else{
17             if(!InsertAVL(T->rchild, val, taller)) return false;
18             if(taller){
19             switch(T->bf){
20             case LH:{T->bf = EH; taller = false; break;}
21             case EH:{T->bf = RH; taller = true; break;}
22             case RH:{RightBalance(T); taller = false; break;}
23             }}
24         }
25     }
26     return true;
27 }

全部代码

  1 #include<iostream>
  2 using namespace std;
  3 /*
  4     author: Lai XingYu
  5       date: 2018/5/18
  6   describe: AVL
  7 */
  8 #define LH +1
  9 #define EH 0
 10 #define RH -1
 11
 12 typedef struct BSTNode{
 13     int val;
 14     int bf;
 15     struct BSTNode *lchild, *rchild;
 16 }BSTNode, *BSTree;
 17
 18 void R_Roate(BSTree& p){
 19     BSTree temp = p->lchild;
 20     p->lchild = temp->rchild;
 21     temp->rchild = p;
 22     p = temp;
 23 }
 24
 25 void L_Roate(BSTree& p){
 26     BSTree temp = p->rchild;
 27     p->rchild = temp->lchild;
 28     temp->lchild = p;
 29     p = temp;
 30 }
 31
 32 void LeftBalance(BSTree& T){
 33     BSTree temp = T->lchild;
 34     switch(temp->bf){
 35     case LH:{T->bf = temp->bf = EH; R_Roate(T); break;}
 36     case RH:{
 37                 BSTree t = temp->rchild;
 38                 switch(t->bf){
 39                 case LH:{temp->bf = EH; T->bf = RH; break;}
 40                 case EH:{temp->bf = EH; T->bf = EH; break;}
 41                 case RH:{temp->bf = LH; T->bf = EH; break;}
 42                 }
 43                 t->bf = EH;
 44                 L_Roate(T->lchild);
 45                 R_Roate(T);
 46             }
 47     }
 48 }
 49
 50 void RightBalance(BSTree& T){
 51     BSTree temp = T->rchild;
 52     switch(temp->bf){
 53     case LH:{
 54                 BSTree t = temp->lchild;
 55                 switch(t->bf){
 56                 case LH:{T->bf = EH; temp->bf = RH; break;}
 57                 case EH:{T->bf = EH; temp->bf = EH; break;}
 58                 case RH:{T->bf = LH; temp->bf = EH; break;}
 59                 }
 60                 t->bf = EH;
 61                 R_Roate(T->rchild);
 62                 L_Roate(T);
 63             }
 64     case RH:{T->bf = temp->bf = EH; L_Roate(T); break;}
 65     }
 66 }
 67
 68 /*
 69     taller标志插入新结点后，树的高度是否变高
 70     如果val在二叉树中，则插入失败
 71     如果插入结点让二叉树失去平衡，则要进行选择处理，让二叉树恢复平衡
 72 */
 73 bool InsertAVL(BSTree& T, int val, bool& taller){
 74     if(!T){//插入新结点，树变高
 75         T = (BSTree) malloc(sizeof(BSTNode));
 76         T->val = val; T->bf = EH; T->lchild = T->rchild = NULL;
 77         taller = true;
 78     }else{
 79         if(val==T->val){taller = false; return false;} //如果val存在于二叉树中， 则插入失败
 80         if(val<T->val){ //若果val比当前结点的值小，则把新结点插入到当前结点的左子树中
 81             if(!InsertAVL(T->lchild, val, taller)) return false;
 82             if(taller){
 83             switch(T->bf){    //插入新结点后要对当前结点的平衡因子做出相应的修改
 84             case LH:{LeftBalance(T); taller=false; break;}
 85             case EH:{taller = true; T->bf = LH; break;}
 86             case RH:{taller = false; T->bf = EH; break;}
 87             }}
 88         }else{
 89             if(!InsertAVL(T->rchild, val, taller)) return false;
 90             if(taller){
 91             switch(T->bf){
 92             case LH:{T->bf = EH; taller = false; break;}
 93             case EH:{T->bf = RH; taller = true; break;}
 94             case RH:{RightBalance(T); taller = false; break;}
 95             }}
 96         }
 97     }
 98     return true;
 99 }
100
101 void inorder(BSTree T){
102     if(!T) return;
103     if(T->lchild) inorder(T->lchild);
104     cout<<T->val<<" ";
105     if(T->rchild) inorder(T->rchild);
106 }
107 int main(){
108     int t[] = {1,2,3,4,5,6,7};
109     int f[] = {1,2,5,3,7,6,4};
110     BSTree T = NULL;
111     bool taller;
112     for(int i=0; i<7; i++) InsertAVL(T, f[i], taller);
113     inorder(T);
114 return 0;}

inorder()遍历一颗二叉树，得到的序列一定是单调的。

通过上面的例子可以看到，用相同的数字，不同顺序的序列来构建平衡二叉树，得到的结果是一样的。

平衡二叉树可以让二叉树的高度保持在Logn; 查找任何一个结点，需要进行的比较次数也不会超过logn。

但是如果构建avl的结点是降序的，会对二叉树进行多次选择，带来的开销也是非常大的。

转载于:https://www.cnblogs.com/mr-stn/p/9058567.html