1 利用调频器产生MSK信号

我们可以通过调制指数为0.5的压控振荡器来产生MSK信号，如下图所示：

其中{ $a_n$ } 是取值为±1 的二进制序列，而 $g_T(t)$ 就是矩形脉冲波形。

很多同学看到公式

$b(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty}a_ng_T(t-nT_b)$

可能就蒙圈了，所以我们再多解释一下。

$a_n$ 就是输入的信息序列，例如1010…，但这里0是用-1来代替的。 $g_T(t)$ 的持续时间为一个符号周期，它代表一个符号的时域波形，当 $a_n$ 为1是时域波形就是 $g_T(t)$ ，当 $a_n$ 为-1是时域波形就是- $g_T(t)$ 。

在推导msk信号表达式之前，我们先推导VCO的表达式。VCO的输出频率f随着输入电压信号在中心频率 $f_c$ 附近变化：

是比例常数，它和输入信号共同决定了VCO的最大频偏。此处取0.5。由此可以得到VCO的角频率

进一步我们可以得到VCO的瞬时相位为:

由此我们便得到msk信号的表达式：

面给出一个使用MATLAB产生MSK发送信号的具体例子，参数如下：

假设采样频率为200Hz，符号速率为4波特/秒，那么每个符号的持续时间Tb为0.25s，每个符号有50个样点。

由于保证正交2FSK信号的最小频率间隔为 $1/2T_B$ ，此时其中一个码元的频率 $f_0=f_c+1/4T_B$ ，另一个码元的频率为 $f_1=f_c+1/4T_B$ ，其中 $f_c$ 是载波频率。当 $f_c =5Hz$ 时，两个码元的频率分别为6Hz和4Hz。

当输入信号为[1 -1 1 -1 1 1 -1 -1]时，输入矩形脉冲序列b(t) 对应的波形就如下图所示：

利用MSK是一个正交2FSK信号的性质，还可以推导出MSK信号每个码元持续时间内包含的波形周期数必须是1/4载波周期的整数倍（具体推导可见《通信原理》樊昌信第七版P233）。

通过上图我们可以看到，当发送信号为1时，符号持续时间为1.5倍周期（6倍1/4载波周期），这里的载波是指f0，在本例中为6Hz；当发送信号为0时，符号持续时间为1倍周期（4倍1/4载波周期），这里的载波是指f1，在本例中为4Hz。

由于输入信号为[1 -1 1 -1 1 1 -1 -1]，输入第一个比特为1，从上图可见相位增加了90度；输入第二个比特为2，从上图可见相位减少了90度；以此类推。

下面来重点分析一下MSK的星座图。如果从样点级来绘制MSK的星座图可以得到下图，一个符号对应50个样点，整个图一共画了100个星座点。

上图同我们平时熟悉的BPSK、QPSK的星座图不太一样。BPSK、QPSK的星座图是按照符号来绘制的，上图是按照样点来绘制的，如果按照符号来绘制星座图，可以参考下图中红色方框。

为了更清楚的说明问题，下图将第一个符号和第二个符号画了出来：

第一个符号如图(a)所示，从θ 为0开始（如图中方框所表示的点），走了一圈半。第一个符号如图(b)所示，从θ 为180度开始，走了一圈。

关键代码如下：

gt=ones(1,OSR);        %矩形脉冲
gt=gt/OSR/2;           %归一化,保证积分函数qt最大值为1/2
qt=cumsum(gt);
bt=kron(a,gt);         %矩形脉冲序列
theta=pi*cumsum(bt);
xt = cos(2*pi*(fc).*ts + theta );

代码中的变量命名同本文公式一致，代码逻辑也遵循本文公式推导，简单清晰。绘制的图形也充分证明了代码的正确性。

2 利用正交调制产生MSK信号

前面已经推导了MSK信号的公式：

$s_{msk}(t)=Acos[2\pi f_c t+\pi\int_{-\infty}^tb(t)dt]$

将b(t) 的表达式代入上式可以得到：

其中是每个符号的初始相位，取值为0， $\pm\pi$

通过三角公式展开可以得到

令 , ,上式可以重新写作

上式就是MSK信号的正交表达式，具体的公式推导，大家可以参考《通信原理》（周炯槃版）P272-273页。

根据MSK信号的正交表达式，给出MSK信号产生的框图如下：

粗看框图觉得没有问题，正是正交调制的框图；但是仔细一想问题来了，框图中的差分编码是从哪里来的，公式里没有哪一项可以对应差分编码啊。书里也写得比较晦涩，让阅读XX例子加深对XX公式的理解。

好吧，那下面我们也用一个例子来说明吧。

设输入序列有9个数 = 1、-1、1、-1、-1、1、1、-1、1。

其中n=1…9; n=0为初始状态，初始值已知。

上表中，是已知的输入序列，的值都是根据公式计算出来的。0时刻假设，据此根据公式可以推导出表里各项的值。我们仔细观察的值，除了初始状态外，每2个数的值都是一样的，这样将2个数合并成1个，并依次赋给。得到后，仔细观察它同的关系，就能推导出如下的公式：。这样我们就完美解释了框图中差分编码的来历。

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