前言

最近在研究MSK，重新翻了几本教材，又在网上看了不少资料，总是感觉get不到要点。教材吧，公式太多，一不小心就陷入了推导公式的汪洋大海，看不了多久就让你重温上学期间努力学习通信原理的梦魇之中，眼里虽然是熟悉的中国字却不知道在讲些什么。网上的资料又良莠不齐，有的突兀的冒出一堆公式，有的给出的代码质量太差。

本系列文章本着深入浅出的原则试图将MSK给大家梳理一遍，同时会给出相应的参考资料和matlab代码。第一部分是概述，本着科普的原则，尽量不写公式，多上图。

一、从三个角度理解MSK

我们比较熟悉的调制方式有BPSK、QPSK、2FSK, 这类调制实现简单，但是缺点也很明显：在符号转换时，相位的跳变会导致频谱扩展。最小移频键控 (Minimum Shift Keying，MSK)调制技术是恒包络连续相位调制技术的一种，它具有恒定的包络、连续的相位和信号频谱旁瓣衰减快等优点。

上中学的时候做数学题总是讲究一题多解，就是要从不同角度去理解同一个问题，加深对该问题问题的理解。为了加深对MSK的理解，本文也试图从三个方面入手去分析：

从最简单的2FSK入手，将MSK理解为一种特殊的2FSK信号;
从我们熟悉的BPSK、QPSK、O-QPSK来理解MSK；
从CPM入手，将MSK理解为调制系数为0.5的CPM。

1.从2FSK到MSK

对于新事物的学习，人们总是更习惯从自己熟悉和了解的事物出发，因此本文就从简单易懂的2FSK入手来学习MSK。频移键控FSK是利用载波频率的变化来传递数字信息。在2FSK中，载波的频率随二进制基带信号在f1和f2两个频率点间变化，如下图所示:

图 1 FSK波形图

2FSK的缺点有：

2FSK占用的频带宽度比2PSK大，频带利用率较低；
若用开关法产生2FSK信号，则相邻码元波形的相位可能不连续；
2FSK两种频率的码元一般不正交（二进制信号的两种码元互相正交，则其误码率性能将更好）。

为了克服上述缺点，对2FSK信号进行改进，发展出MSK信号。MSK信号是一种相位连续、包络恒定，并且占用带宽最小的二进制正交2FSK信号。

下面，我们就要开始对FSK进行改造。

第一步就是先让二进制信号的两种码元互相正交。对于2FSK，两种码元对应不同频率的正弦波。根据正交的定义，就是要让两种频率信号的乘积在一个符号周期内的积分为0。推导还是比较简单，感兴趣的同学可以直接看教材，这里我们直接给出结论：保证正交的2FSK信号，两个信号对应的频率差是1/2Tb的整数倍；为了使占用的带宽最小，那就令两个信号的频率差是1/2Tb 。大家可以参考下面这个图：

图 2 2FSK频率图

第二步就是产生连续相位的2FSK信号了。

如果用二进制数字信号控制电开关，分别接入两个载波振荡器之一，这样产生的2FSK信号在符号边界相位是不连续的。

图 3 相位不连续2FSK信号的产生

而使用双极性二进制信号对单一的载频振荡器进行调频，则可以得到相位连续的2FSK信号。

图 4 利用vco作调频器产生连续相位2FSK信号

这样通过对2FSK进行改进，我们就得到了相位连续、包络恒定，并且占用带宽最小的二进制正交2FSK信号，即MSK信号。

2.从BPSK、QPSK、O-QPSK到MSK

为了方便理解，我们直接看一个例子。

a) 假设我们要传输8比特的信息序列，经过BPSK调制我们得到8个符号[+1, +1, -1, -1, -1, +1, +1 , +1]，每个符号的持续时间为T。

b) 同样的信息序列，我们采用QPSK的方式进行调制，偶数比特通过同相支路进行传输，奇数比特则通过正交支路进行传输。为了保持信息速率不变，同相/正交支路上的符号率变成了2T。

图 5 BPSK和QPSK

c) QPSK的一个变种叫Offset-QPSK(O-QPSK)，就是在QPSK的基础上在正交支路上引入延迟T。我们知道，如果相邻码元波形的相位不连续会导致信号的频谱展宽，QPSK的相邻码元最坏会有180°的跳变。而O-QPSK的好处就在于相邻码元之间的跳变只有90°，相对较小的相位跳变会让波形的频谱看上去更干净些。另外采用格雷编码也可以约束QPSK的相邻码元相位变化只有90°，有兴趣的同学可以自行查阅相关资料。

d) 前面介绍了QPSK、OQPSK，我们关注相邻码元波形的相位的变化。那么有没有办法让相邻码元相位变化为0呢，研究发现，如果将OQPSK里的矩形成型脉冲变成正余弦型成型脉冲，那么相邻码元相位变化就为0，这就是最小频移键控MSK。

图 6 O-QPSK和MSK

最后我们给出MSK、O-QPSK和QPSK的波形图，可以看到MSK相邻码元相位变化是连续的，O-QPSK相邻码元相位变化是90°，而QPSK相邻码元相位变化是可能是180°，也有可能是90°。

这一部分没有推导，主要是为了形象的给出MSK与我们熟悉的QPSK,O-QPSK之间的关系，详细的公式推导以及配套的matlab代码会在下一节给出。

3. 从BPSK、QPSK、O-QPSK到MSK

前面我们说到理解复杂的新事物要从我们熟悉的事物出发，比如从2FSK的角度来理解MSK，从QPSK、O-QPSK理解MSK。如果为了解释一个新事物，我们要从先理解一个更加复杂的概念，这显然不符合我们的认知规律。正确的方法应该是我们了解MSK以后，再从MSK出发去理解CPM。因此对于CPM(Continus Phase Modulation，连续相位调制)到MSK这条线路就不做过多的解释（其实最关键的原因是我也不懂），我们只要知道MSK是为调制系数为0.5的CPM就好了。不过在这里还是简单和大家复习一下什么是调制系数。在调频系统中，调制系数（modulation index）是指频偏和信号带宽的比值。根据下图我们就可以清晰的知道msk的调制系数是0.5了。

参考文献：

《通信原理》周炯槃

《通信原理》（樊昌信第7版）

《MSK and Offset QPSK Modulation》

《Minimum shift keyinga spectrally efficient modulation》pasupathy1979

总结

下一步我们将结合matlab代码讲述如何生成MSK调制信号。

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