高中的时候，我们从课本上可以得知等差数列的求和公式，也震惊于少年高斯的精彩故事，也就是

不涉及严格的推导过程，只有思维的不断发散和方法的不断大胆化(我相信没有繁琐的证明会有更多人愿意观看)，所涉及的东西可以在网络上找严格的证明，现在，让我们打开这一段奇妙之旅。

第一章.从等差数列开始

在普通的一天，我们注意到

也许这没有什么，毕竟高中课本已经告诉我们等差数列求和可以写成

也许这也没什么，我们好奇心迸发了！我们想求三次方的求和，这怎么办呢?

我们注意到，等差数列的求和变成了一个二次函数(但是

现在我们的目标就变成了求出这些系数。当然，我们可以用

接下来就变成了展开这一坨式子，似乎还是挺复杂的，我们可以参考杨辉三角形来辅助运算(不许跑)

我们把右边加起来得到

显然，这就是

现在，我们可以开始对比系数了，也就是

我们逐层求解得到

所以我们得到了三次幂的求和公式

我们来尝试一下,

或许四次方的求和是五次函数，更或者

我们也可以得到一个有趣的小结论:

这刚好是等差数列的求和的平方.

第二章.进军幂数列

我们假设的公式求三次幂的求和取得了初步的胜利，我们可以接着求四次幂的求和，我们的方法依然有效，但是计算量可能会让我们头痛，所以我们开始回顾之前取得的成果，看看能不能发现有价值的线索.我们把它列出来

我们开始仔细地探索，似乎能看到几个信息:

1.最高次幂的系数好像都是

2.第二项似乎都是

3.好像都没有常数项？

目前我们也不知道这几个信息是不是正确的，如果真的是正确的，那么我们求四次幂的求和的时候会方便了不少，现在，让我们假设它是正确的吧，我们可以假设出四次方数列求和的公式

这里，我们依然可以如法炮制求解，但是我们可以变换一个思路:因为求和公式，我们只需要带入三个值列出方程就可以求解了！我们分别令

我们可以求解出(消元法慢慢来)

所以我们又得到了四次幂的求和公式

我们验算一下，带入

所以我们的答案似乎是正确的.

可能是每个人能找到的信息不尽相同，如果找不到那些似乎有用的信息，我们也可以用求和公式相减来对比系数求出系数。

我们现在整理一下我们的信息,嗯嗯似乎和我们之前得到的信息吻合呢！那么我们就可以肆无忌惮的求和了！注意到了一点，

.这个想法正确吗？我们开始了接下来的实验.

人的野心总是会不断膨胀的，我们现在也许已经不满足于简单的几次幂的求和了，我们想找到系数的求法而不是一次次相减作差.

第三章.系数的探索

按照我们之前的假设，我们似乎可以假设

我们现在的手段只有通过作差，那我们就来吧！

作差.但是我们先不要傻乎乎的完全展开，这样会非常复杂的！我们从中一个个挑出来.

首先，左边肯定是只剩下

右边的

这里的

我们接着抓

好像有些眉目了，我们再考虑一项得到

我们终于找到一些规律了!现在我们把

现在，我们尝试用它求解三次方的求和，取

所以我们得到

第四章.向分数拓展!

这真的是一个非常大胆的假设！

我们现在把

我们似乎可以写成

这个结果（如果是正确的话）似乎说明了一个问题:这个求和似乎无法表示成有限项的幂函数之和.当然，我们要对结果进行验算，最好的方法就是计算机！

注意到

那么这个式子正不正确呢？我们取

为什么他们不相等呢？我们想想，如果后面都是无穷小的话，随着

我们取

这样我们就可以“推导”出求和结果了！

看起来不错！

现在，我们尝试向更离谱的方向进军，我们想求出

第五章.高效替代

我们尝试计算

注意，在这里的积分统一不加常数

），首项的常数和积分貌似有关系？那我们就可以解释两点了

1. 首项可以拓展看为积分
2. 以前来说，每一项都是前一项的降幂，如果换成积分表达的话，能起到降幂效果的那就是求导数了！

如果如此，我们不妨可以看成

如此一来，当

我们可以把上式当成原来求和的一个延拓.

现在我们按照新的公式来尝试计算

注意，实际上

）,但是在我们尝试计算

我们该对系数进行重新寻找了.

现在我们再重新考虑这个式子

注意到它是每阶导数，我们想求出它的系数，我们就不能使每一项受干扰，想了很久，决定使用

但是我们发现左边有常数而右边没有，所以我们一定不要忘记了，积分是有常数项的！

改一下得到

我们进行简单的对比系数得到

但是我们好像并不能求出

设

稍作整理得到

不太美观，两边同时乘上一个

对比系数我们可以得到

所以，我们找到了一个级数来表达出

所以，我们得到

通过更深的展开我们还能发现除了

母函数或者生成函数

现在，让我们回到

将上面求出的数据代入得到

至此，我们完成了调和数列的求和.我们可以考虑极限

经计算，这个数大约是0.577216,实际上，我们把这个数叫做欧拉常数

所以我们可以得出一个结论:对于任何一个数列，求和结果里面的

带入数据我们得到

因为我们之前提到，幂数列的求和是没有常数项的，也就是

这样一来，求和就变得非常简单了！

我们尝试求和

用计算机展开母函数求出

这里

这里的常数有何意义呢？我们也许后面会看到.

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至此我们通过了短短十几分钟计算出了十次幂的求和，这比我们作差不知道快了多少！

我们之前提到，

更纯净的数列

我们计算得到

实际上，这个更纯净的数列正是伯努利数

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第六章.常数与求和

我们计算

令

）。突然我们想到一个很有趣的想法，万一...这个数对于发散级数而言，是否也可以定义为一种全新的求和?

想法:求

我们可以按照上面的方法来算,首先求

那么，我们是否可以求出所有的幂数列的和呢？我们定义

现在，我们要计算

我们先考虑部分和

我们考虑最后一项，也就是

我们解得

例如

而负数的伯努利数我们却无法定义，所以上面的

我们考虑负数值得到（黎曼函数）

真的很美妙，不是吗？注意负数

第七章.奇奇怪怪的运算

我们得到的结论，我们现在来求一些奇奇怪怪的和，例如

我们根据积分

带入数据得到

当

注意到左边刚好可以表示为

我们可以考虑令

我们得到

斯特林公式.

我们尝试计算奇奇怪怪的数值，例如

带入数据得到

我们考虑极限

适当保留无穷小可以提高计算精度，稍作计算得到

或者，我们可以求一些奇奇怪怪的和,比如

考虑到其中出现了循环，所以我们得到

解得

因此我们得到求个公式

根据我们所说的