初值定理与终值定理的推导（S域和Z域）

拉普拉斯变换

初值定理（S域）

根据时域微分性质有：
L [ f ′ ( t ) ] = s F ( s ) − f ( 0 ) \mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0) L[f′(t)]=sF(s)−f(0)
lim ⁡ s → ∞ ∫ 0 ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = lim ⁡ s → ∞ [ s F ( s ) − f ( 0 ) ] {\lim_{s\to \infty}}\int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st}dt={\lim_{s\to \infty}}[sF(s)-f(0)] s→∞lim∫0∞f′(t)e−stdt=s→∞lim[sF(s)−f(0)]
0 = lim ⁡ s → ∞ [ s F ( s ) − f ( 0 ) ] 0={\lim_{s\to \infty}}[sF(s)-f(0)] 0=s→∞lim[sF(s)−f(0)]
则有：
lim ⁡ s → ∞ s F ( s ) = f ( 0 ) {\lim_{s\to \infty}}sF(s)=f(0) s→∞limsF(s)=f(0)

终值定理（S域）

同理：

lim ⁡ s → 0 ∫ 0 ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = lim ⁡ s → 0 [ s F ( s ) − f ( 0 ) ] {\lim_{s\to 0 }}\int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st}dt={\lim_{s\to 0}}[sF(s)-f(0)] s→0lim∫0∞f′(t)e−stdt=s→0lim[sF(s)−f(0)]
f ( ∞ ) − f ( 0 ) = lim ⁡ s → 0 [ s F ( s ) − f ( 0 ) ] f(\infty)-f(0)={\lim_{s\to 0}}[sF(s)-f(0)] f(∞)−f(0)=s→0lim[sF(s)−f(0)]
则有：
f ( ∞ ) − f ( 0 ) = lim ⁡ s → 0 [ s F ( s ) ] − f ( 0 ) f(\infty)-f(0)={\lim_{s\to 0}}[sF(s)]-f(0) f(∞)−f(0)=s→0lim[sF(s)]−f(0)
f ( ∞ ) = lim ⁡ s → 0 s F ( s ) f(\infty)={\lim_{s\to 0}}sF(s) f(∞)=s→0limsF(s)

Z变换

初值定理（Z域单边）

F ( z ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) z − k = f ( 0 ) + f ( 1 ) z − 1 + f ( 2 ) z − 2 + . . . F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^{-k} = f(0)+f(1)z^{-1}+f(2)z^{-2}+... F(z)=k=0∑∞f(k)z−k=f(0)+f(1)z−1+f(2)z−2+...
lim ⁡ z → ∞ F ( z ) = f ( 0 ) \lim_{z\to\infty}F(z)= f(0) z→∞limF(z)=f(0)

终值定理（Z域）

Z [ f ( k + 1 ) − f ( k ) ] = z F ( z ) − z f ( 0 ) − F ( z ) = ( z − 1 ) F ( z ) − z f ( 0 ) \mathcal{Z}[f(k+1)-f(k)]=zF(z)-zf(0)-F(z)=(z-1)F(z)-zf(0) Z[f(k+1)−f(k)]=zF(z)−zf(0)−F(z)=(z−1)F(z)−zf(0)
其中有
Z [ f ( k + 1 ) − f ( k ) ] = ∑ k = 0 ∞ [ f ( k + 1 ) − f ( k ) ] z − k \mathcal{Z}[f(k+1)-f(k)]=\sum_{k=0}^{\infty}[f(k+1)-f(k)]z^{-k} Z[f(k+1)−f(k)]=k=0∑∞[f(k+1)−f(k)]z−k
lim ⁡ z → 1 ∑ k = 0 ∞ [ f ( k + 1 ) − f ( k ) ] z − k = lim ⁡ z → 1 [ ( z − 1 ) F ( z ) − z f ( 0 ) ] \lim_{z\to1}\sum_{k=0}^{\infty}[f(k+1)-f(k)]z^{-k} =\lim_{z\to1}[(z-1)F(z)-zf(0)] z→1limk=0∑∞[f(k+1)−f(k)]z−k=z→1lim[(z−1)F(z)−zf(0)]
f ( ∞ ) − f ( 0 ) = lim ⁡ z → 1 [ ( z − 1 ) F ( z ) ] − f ( 0 ) f(\infty)-f(0)=\lim_{z\to1}[(z-1)F(z)]-f(0) f(∞)−f(0)=z→1lim[(z−1)F(z)]−f(0)
则有：
f ( ∞ ) = lim ⁡ z → 1 [ ( z − 1 ) F ( z ) ] f(\infty)=\lim_{z\to1}[(z-1)F(z)] f(∞)=z→1lim[(z−1)F(z)]