数学基础task05 高等数学之中值定理

关于函数的定理

前提：f(x)在[a,b]上连续f(x)在[a,b]上连续f(x)在[a,b]上连续

有界与最值定理

m≤f(x)≤Mm\le f(x)\le Mm≤f(x)≤M其中，m,Mm,Mm,M分别为f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的最小值与最大值。

闭区间上的连续函数必要最大值和最小值。

介值定理

当m≤μ≤Mm\le \mu\le Mm≤μ≤M时,存在ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=μf(\xi)=\muf(ξ)=μ。

闭区间上的连续函数可以取到最大值和最小值间的任意一个数。

平均值定理

当a<x1<x2....<xn<ba<x_1<x_2....<x_n<ba<x1<x2....<xn<b时，在[x1,xn][x_1,x_n][x1,xn]内至少存在一点ξ\xiξ，使：

f(ξ)=f(x1)+f(x2)...+f(xn)nf(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)...+f(x_n)}{n}f(ξ)=nf(x1)+f(x2)...+f(xn)

证明：

f(x)在[x1,x2][x_1,x_2][x1,x2]上连续,所以m≤f(x)≤Mm\le f(x)\le Mm≤f(x)≤M

于是：m≤f(x1)≤M....m≤f(xn)≤Mm\le f(x_1)\le M....m\le f(x_n)\le Mm≤f(x1)≤M....m≤f(xn)≤M

所以式子相加：nm≤f(x1)+f(x2)...+f(xn)≤nMnm\le f(x_1)+f(x_2)...+f(x_n)\le nMnm≤f(x1)+f(x2)...+f(xn)≤nM

所以得出：m≤f(x1)+....f(xn)n≤Mm\le\frac{f(x_1)+....f(x_n)}{n}\le Mm≤nf(x1)+....f(xn)≤M

由介值定理得出平均值定理

零点定理

当f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0f(a)⋅f(b)<0时，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0\xi\in(a,b)，使得f(\xi)=0ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0

关于导数和微分的中值定理

费马定理(必要条件)

设f(x)f(x)f(x)满足在x0x_0x0处可导且取极值，则f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0

证明：

假设f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0处取得极大值，则存在x0x_0x0的邻域U(x0)U(x_0)U(x0)，对任意的x∈U(x0)x\in U(x_0)x∈U(x0)，都有Δf=f(x)−f(x0)≤0\Delta f=f(x)-f(x_0)\le0Δf=f(x)−f(x0)≤0，于是根据导数的定义与极限的保号性，有：

f−′(x0)=lim⁡x→x−f(x)−f(x0)x−x0≥0f'_{-}(x_0)=\lim\limits_{x\to x^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge0f−′(x0)=x→x−limx−x0f(x)−f(x0)≥0

f+′(x0)=lim⁡x→x+f(x)−f(x0)x−x0≤0f'_{+}(x_0)=\lim\limits_{x\to x^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le0f+′(x0)=x→x+limx−x0f(x)−f(x0)≤0

又f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0处可导，于是f−′(x0)=f+′(x0)f'_{-}(x_0)=f'_{+}(x_0)f−′(x0)=f+′(x0)，故f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0

罗尔定理

设f(x)f(x)f(x)满足在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0。

证明：[a,b]连续函数肯定存在最值:m≤f(x)≤Mm\le f(x)\le Mm≤f(x)≤M

m=M，函数图形是水平线，任何一个数的导数都是零。
m<M，左右端点函数值相等的情况下肯定存在最值在区间内，所以区间内存在一点的导数为零。

推广的罗尔定理：

设f(x)在（a,b）内可导，lim⁡x→a+=lim⁡x→b−=A,则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0设f(x)在（a,b）内可导，\lim\limits_{x\to a^+}=\lim\limits_{x\to b^-}=A,则在（a,b）内至少存在一点\xi，使得f(\xi)=0设f(x)在（a,b）内可导，x→a+lim=x→b−lim=A,则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0
设f(x)在（a,b）内可导，lim⁡x→a+=lim⁡x→b−=±∞,则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0设f(x)在（a,b）内可导，\lim\limits_{x\to a^+}=\lim\limits_{x\to b^-}=\pm\infty,则在（a,b）内至少存在一点\xi，使得f(\xi)=0设f(x)在（a,b）内可导，x→a+lim=x→b−lim=±∞,则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0
设f(x)在（a,+∞）内可导，lim⁡x→a+=lim⁡x→b−=A,则在（a,+∞）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0设f(x)在（a,+\infty）内可导，\lim\limits_{x\to a^+}=\lim\limits_{x\to b^-}=A,则在（a,+\infty）内至少存在一点\xi，使得f(\xi)=0设f(x)在（a,+∞）内可导，x→a+lim=x→b−lim=A,则在（a,+∞）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0
设f(x)在（−∞,+∞）内可导，lim⁡x→−∞=lim⁡x→+∞=±∞,则在（−∞,+∞）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0设f(x)在（-\infty,+\infty）内可导，\lim\limits_{x\to -\infty}=\lim\limits_{x\to +\infty}=\pm\infty,则在（-\infty,+\infty）内至少存在一点\xi，使得f(\xi)=0设f(x)在（−∞,+∞）内可导，x→−∞lim=x→+∞lim=±∞,则在（−∞,+∞）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0

拉格朗日中值定理

设f(x)f(x)f(x)满足在[a,b]上连续，在（a,b）内可导,则存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)使得：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

证明：

F(a)=f(a)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(a−a)=0F(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=0F(a)=f(a)−f(a)−b−af(b)−f(a)(a−a)=0

F(b)=f(b)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(b−a)=0F(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=0F(b)=f(b)−f(a)−b−af(b)−f(a)(b−a)=0

F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(b−a)F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)F(x)=f(x)−f(a)−b−af(b)−f(a)(b−a)(辅助函数)

罗尔定理得：F′(ξ)=0F'(\xi)=0F′(ξ)=0

F′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−aF'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}F′(x)=f′(x)−b−af(b)−f(a)

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(ξ)=b−af(b)−f(a)

表达：

f(b)−f(a)=f′(a+Θ(b−a))(b−a),Θ∈(0,1)f(b)-f(a)=f'(a+\Theta(b-a))(b-a),\Theta\in(0,1)f(b)−f(a)=f′(a+Θ(b−a))(b−a),Θ∈(0,1)

f(a+b)−f(a)=f′(a+Θh)h,Θ∈(0,1)f(a+b)-f(a)=f'(a+\Theta h)h,\Theta\in(0,1)f(a+b)−f(a)=f′(a+Θh)h,Θ∈(0,1)

柯西中值定理

设f(x)，g(x)满足在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导，g'(x)!=0，则存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得：

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)

证明：

F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)(g(x)−g(a))F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))F(x)=f(x)−f(a)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)(g(x)−g(a))

F′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)g′(x)F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)F′(x)=f′(x)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)g′(x)

f′(ξ)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)g′(ξ)f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)f′(ξ)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)g′(ξ)

泰勒公式

拉格朗日余项的n阶泰勒公式

设f(x)在点x0x_0x0的某个邻域内n+1阶导数存在，则对该邻域内任意点x，有：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+....+1n!f(n)(x0)(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+....+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+....+n!1f(n)(x0)(x−x0)n+(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1

佩亚诺余项的n阶泰勒公式(主要使用)

设f(x)在点x0x_0x0处n阶可导，则存在x0x_0x0的一个邻域，对于该邻域内的任意点，有：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...1n!f(n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...n!1f(n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)

当x0=0x_0=0x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式

导数零点定理

设f(x)在[a,b]上可导,当f+′(a)⋅f−′(b)≤0,f'_+(a)\cdot f'_-(b)\le0,f+′(a)⋅f−′(b)≤0,存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0

证明：

设f+′(a)>0,f−′(b)<0f'_+(a)>0,f'_-(b)<0f+′(a)>0,f−′(b)<0

f+′(a)=lim⁡x→x+f(x)−f(a)x−a>0⇒存在ξ1>0,在(a,a+ξ1)，f(x)>f(a)f'_+(a)=\lim\limits_{x\to x^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0\Rightarrow 存在\xi_1>0,在(a,a+\xi_1)，f(x)>f(a)f+′(a)=x→x+limx−af(x)−f(a)>0⇒存在ξ1>0,在(a,a+ξ1)，f(x)>f(a)

f−′(b)=lim⁡x→x−f(x)−f(b)x−b>0⇒存在ξ2>0,在(a,a+ξ2)，f(x)>f(b)f'_-(b)=\lim\limits_{x\to x^-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}>0\Rightarrow 存在\xi_2>0,在(a,a+\xi_2)，f(x)>f(b)f−′(b)=x→x−limx−bf(x)−f(b)>0⇒存在ξ2>0,在(a,a+ξ2)，f(x)>f(b)

故f(a)与f(b)都不是f(x) 在[a,b]的最大值，则f(x)在(a,b)内取得最大值,根据费马定理:

存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0\xi\in(a,b)，使得f'(\xi)=0ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0

积分中值定理

设f(x)在[a,b]上连续，存在ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]ξ∈[a,b]，使得：

∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int^b_af(x)dx=f(\xi)(b-a)∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)

证明：

因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上存在最大值M和最小值m

m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)m(b-a)\le\int^b_af(x)dx\le M(b-a)m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)

m≤1b−aintabf(x)dx≤Mm\le\frac{1}{b-a}int^b_af(x)dx\le Mm≤b−a1intabf(x)dx≤M

由介值定理可知,存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=1b−a∫abf(x)dx\xi\in[a,b],使得f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int^b_af(x)dxξ∈[a,b],使得f(ξ)=b−a1∫abf(x)dx

书籍学习源自：《张宇基础30讲》《张宇考研数学1000题》
视频学习：数学基础–萌弟AI
本文章仅仅作打卡个人使用。