三维空间中平面的法向量计算

三维空间中平面的法向量计算

取平面上三点分别为： P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3), 设法向量为(dx,dy,dz), 则法向量满足以下等式：

(x2-x1)*dx+(y2-y1)*dy+(z2-z1)*dz=0;
(x3-x1)*dx+(y3-y1)*dy+(z3-z1)*dz=0;
(x3-x2)*dx+(y3-y2)*dy+(z3-z2)*dz=0;

本质即为求解三个未知数三个方程的方程组，依据克莱姆法则，计算法向量如下：

bool flag=CalNormalVector(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,dx,dy,dz);
if(flag)
{//求解成功
}
else
{//没有法向量
}

bool CalNormalVector(float x1,float y1,float z1,float x2,float y2,float z2,float x3,float y3,float z3,float &dx,float &dy,float &dz)
{//float a1,a2,b1,b2,c1,c2;//float _a1=x2-x1; float _b1=y2-y1; float _c1=z2-z1;float _a2=x3-x1; float _b2=y3-y1; float _c2=z3-z1;float _a3=x3-x2; float _b3=y3-y2; float _c3=z3-z2;//_a1x+_b1y+_c1z=0;//_a2x+_b2y+_c2z=0;//_a3x+_b3y+_c3z=0;//3个未知数3个方程组成的齐次方程组求解//系数矩阵A//| _a1 _b1 _c1 |//| _a2 _b2 _c2 |//| _a3 _b3 _c3 |//如果行列式A的值不等于0，则有唯一解且为零解float DA=_a1*_b2*_c3+_b1*_c2*_a3+_a2*_b3*_c1-_a3*_b2*_c1-_a1*_b3*_c2-_a2*_b1*_c3;if (DA!=0){dx=0.0f;dy=0.0f;dz=0.0f;return false;}//---------------------------------------------////如果行列式A的值等于0，则有非零解//非零解即x!=0时有解或者y!=0时有解或者z!=0时有解float x=0.0f,y=0.0f,z=0.0f;//若z!=0时有解,取z=-1//_a1x+_b1y=_c1;---(1)//_a2x+_b2y=_c2;---(2)//_a3x+_b3y=_c3;---(3)//任取2个方程即可，在此取(1)(2)x=0.0f;y=0.0f;bool flag3=GetTwoLineIntersection(_a1,_b1,_c1,_a2,_b2,_c2,x,y);if (flag3)//假设成立{dx=-x;dy=-y;dz=1.0f;return true;}//假设不成立，继续试验另一个假设//若x!=0时有解取x=-1，平面中两条直线求交点问题//_b1y+_c1z=_a1;---(1)//_b2y+_c2z=_a2;---(2)//_b3y+_c3z=_a3;---(3)//任取2个方程即可，在此取(1)(2)y=0.0f;z=0.0f;bool flag1=GetTwoLineIntersection(_b1,_c1,_a1,_b2,_c2,_a2,y,z);if (flag1)//假设成立{dx=1.0f;dy=-y;dz=-z;return true;}//假设不成立，继续试验另一个假设//若y!=0时有解取y=-1，平面中两条直线求交点问题//_a1x+_c1z=_b1;---(1)//_a2x+_c2z=_b2;---(2)//_a3x+_c3z=_b3;---(3)//任取2个方程即可，在此取(1)(2)x=0.0f;z=0.0f;bool flag2=GetTwoLineIntersection(_a1,_c1,_b1,_a2,_c2,_b2,x,z);if (flag2)//假设成立{dx=-x;dy=1.0f;dz=-z;return true;}//所有假设都不成立，求解失败return false;
}

两个未知数两个方程的方程组，根据克莱姆法则求解如下：

bool GetTwoLineIntersection(float _a1,float _b1,float _c1,float _a2,float _b2,float _c2,float &x,float &y)
{//_a1x+_b1y=_c1;---(1)//_a2x+_b2y=_c2;---(2)//if (_c1==0&&_c2==0){//2个未知数2个方程组成的齐次方程组求解//系数矩阵B//| _a1 _b1 |//| _a2 _b2 |float DB=_a1*_b2-_a2*_b1;if (DB!=0)//有唯一零解{x=0;y=0;return true;}else//有无数解{x=0;y=0;return false;}}else{//2个未知数2个方程组成的非齐次方程组求解//系数矩阵B//| _a1 _b1 |//| _a2 _b2 |//float DB=_a1*_b2-_a2*_b1;if (DB!=0)//有唯一解{float dD1 = _c1 * _b2 - _c2 * _b1;float dD2 = _a1 * _c2 - _a2 * _c1;x = dD1 / DB;y= dD2 / DB;return true;}else//有无数解或者无解{x=0;y=0;return false;}}return false;
}

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