CLRS 5.3随机算法

5.3-1
改变循环的下标，把第一次循环结果作为初始条件。

RANDOMIZE-IN-PLACE(A)n = A.lengthswap A[1] with A[Random(1, n)]for i = 2 to nswap A[i] with A[Random(i, n)]

初始条件变为序列 A[1…1]A[1\dots1] 以 (n−1)!n!=1n\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n 的概率出现，其他和原算法保持不变。

5.3-2
没有，很显然它不能产生和最开始一样的排列，比如一个 [1,2,3][1,2,3] 的排列使用这个算法之后不可能得到 [1,2,3][1,2,3]。

5.3-3
不能，因为这个算法产生的排列数为 nnn^n 种，而 nn 个元素最多产生 n!n! 种排列，所以此算法产生了一些重复的排列，当 nnn^n 不能被 n!n! 整除时，说明有的排列数多，有的则少，则产生的排列不均匀。

5.3-4
当 j≡offset+i(modn)j \equiv \text{offset} + i \pmod{n} 时，A[i]A[i] 复制到 B[j]B[j] 。概率就是1/n1/n。
这个算法类似于一个很简单凯撒密码，就是从某一个位置开始循环。

5.3-5
从 n3n^3 个数中取 nn 个元素的全排列为：Ann3=n3!(n3−n)!A_{n^3}^n = \frac {n^3!}{(n^3-n)!}，总共有(n3)n(n^3)^n 种，所以全部不同的概率：

P(U)=Ann3(n3)n=n3!(n3−n)!(n3)n=n3(n3−1)…(n3−n+1)(n3−n)!(n3−n)!(n3)n≥(n3−n)(n3−n)…(n3−n)(n3)n=(n3−nn3)n=(1−1n2)n≥1−1n

\begin{align} P(U) &= \frac {A_{n^3}^n}{(n^3)^n} = \frac {n^3!}{(n^3-n)!(n^3)^n}\\&= \frac {n^3(n^3-1)\dots(n^3-n+1)(n^3-n)!}{(n^3-n)!(n^3)^n}\\& \ge \frac {(n^3-n)(n^3-n)\dots(n^3-n)}{(n^3)^n}\\& = ( \frac {n^3-n}{n^3} )^n = (1-\frac 1{n^2})^n \ge 1-\frac 1n \end{align}
最后一个推导运用 (1−x)n≥1−nx(1-x)^n \ge 1 - nx。

5.3-6
重新产生新的优先级，直到优先级不重复为止；

5.3-7
由于每次调用都会将 mm 减 11，很显然会调用且只调用 RANDOM mm 次。
然后我们证明 1...n1...n 中的每个元素出现在 SS 中的概率是 mn\frac{m}{n}。采用数学归纳法证明，归纳假设就是RANDOM-SAMPLE返回含有 mm 个元素的集合 SS，集合中每个元素出现的概率是 mn\frac{m}{n}。
当 m=1m=1时，就从 {1...n}\{1...n\} 中返回一个数，当 m=0m=0 时返回空集，集合中包含的每个元素的概率是 00；
假设调用RANDOM-SAMPLE(m-1,n-1)时返回 m−1m-1 个元素的集合 S′S'，其中 m−1m-1 个元素来自 {1...n−1}\{1...n-1\}，概率是 m−1n−1\frac{m-1}{n-1}。在代码第四行 i=RANDOM(1,n)之后，ii 从{1...n}\{1...n\} 中返回一个数，然后分别考虑集合 SS 中包含 nn 和不包含 nn 的情况。
令 RjR_j 表示调用 RANDOM返回元素 jj，概率为 Pr{Rj}=1/nP_r\{R_j\}=1/n。显然要 j∈Sj\in S 来自两种情况，j∈S′j\in S' 或者 j∉S′j\not \in S' 并且 RjR_j，则

Pr{j∈S}=Pr{j∈S′}+Pr{j∉S′ and Rj}=m−1n−1+(1−m−1n−1)∗1n=mn

P_r\{j\in S\}=P_r\{j\in S'\}+P_r\{j\not \in S' \ and\ R_j\}=\frac{m-1}{n-1}+(1-\frac{m-1}{n-1})*\frac1n=\frac mn
同理 n∈Sn\in S 来自两种情况， RnR_n 或者 RjR_j 并且 j∈S′(j<n)j\in S'(j，则

Pr{n∈S}=Pr{Rn}+Pr{Rj and j∈S′}=1n+n−1n∗m−1n−1=mn

P_r\{n\in S\}=P_r\{R_n\}+P_r\{R_j \ and\ j\in S'\}=\frac 1n+\frac{n-1}{n}*\frac{m-1}{n-1}=\frac mn

注：CLRS 5.4节答案略

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