webgl学习之路（三）——透视投影矩阵的推导过程
关于透视投影矩阵的讲解，网上有不少教程，但是有一点大家基本上都没有讲清楚：就是z轴坐标（这里的Z轴相当于景深）的推导过程，基本上是一笔带过。
下面先从头开始讲推导过程，再慢慢说Z轴的推导过程。
透视投影如下图：
透视投影的过程如下：所观察的物体在一个半截面的方锥形中，设坐标为P，将P投影到近截面上，坐标为P’；如下图：
推导P'很简单，就是几何概念相似三角形，推导过程如下图：
大家注意，P’处的Z'坐标就是从视点O到近截面的距离。
但是大家可以考虑这样一个问题：那所有的物体在近截面的投影Z坐标都一样，那这样Z坐标就会失去它的作用：确定物体的远近距离。所以此时Z’先保留Z的原本值，不取OQ’这个值。
在视点O处，就是摄影机的位置，有一个长度为1的正方体（概念上叫视锥体），P'再次归一化（归一化的概念大家请看齐次坐标学习！）到这个正方体中(有点像咱们在电脑上处理图片的时候，把图片缩小到一个长和宽都为1的相框里)，如下图：
推导P'’的过程如下：
首先先明确一个概念：近截面的长为W，宽为H，那么近截面的X轴正方向坐标的最大坐标(H/2, 0)，归一化到正方体上的坐标是(1,0)，同理负坐标(-H/2, 0)对应到(-1,0),同理Y轴正方向(0, W/2)归一化到(0,1)，Y轴负方向(0, -W/2)归一化到(0,-1)。
又因为P''和P'的坐标关系是线性关系
同时
所以可以推导出
所以
同理可以推导出X''坐标
至此我们推导出了P''处X''和Y‘’，我们还没有推导出Z''，先看P‘’处坐标
此时，我们就需要齐次坐标了，将P''改为齐次坐标
同时我们设透视投影矩阵为
可得
大家如果看网上的资料，上面的推导过程大家可能都说的一样，但下面这一点我是基本上没看见有人说的，那就是因为在齐次坐标中，如下图
即：P‘’*W = P
然后我们另W=-Z，可得
代入透视投影矩阵：
所以可得Z‘’和Z关系：
再有
可得
所以透视投影矩阵为：
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