蓝桥杯-杨辉三角形-python
题目
可以结合目录来理解文章~
原始方法
这个方法可以拿到40分。N数值比较大的时候,运行时间会超过限制。
思路
逐行生成杨辉三角,找到了需要的N以后就停止循环,并输出对应的位置。
变量解释
用于计算N的位置的公式如下:
pos = (1 + i)*i/2 + j
其中,i是从0开始的,代表N所在的行。j是从0开始的,代表N在所在行的位置(注意,由于每行行首会有一个用来占位的"0",因此也可以认为j是从1开始的)。
优化技巧
在基本思路的基础上,用到了两个优化存储的技巧。
- 杨辉三角只保留程序运行到的行。
previous_line
和new_line
交替存储,这样就不必保存对解题无用的、太过久远的行。
- 将杨辉三角保留一半。
由于杨辉三角是对称的,每行只保留前一半以节约空间。计算时,需要考虑奇数行和偶数行的影响。
完整代码
# Boundary test!
n = int(input())'''
将杨辉三角保留一半,以节省空间和时间
'''# 初始化第一行
previous_line = [0,1]i = 0 # 标记当前行
is_odd = -1 # 标记旧行是否为奇数行,第0行是偶数行,故初始化为-1while(True):# 取出旧行previous_line = previous_line# 计算新行new_line = [0] # 保持新行第一个为0for k in range(len(previous_line)-1):new_line.append(previous_line[k] + previous_line[k+1])if is_odd == 1:new_line.append(2*previous_line[-1])# 标记所需元素在新行的位置i = i + 1 # 标记新行is_odd = -is_odd # 标记新行是否为奇数行if n in new_line:j = new_line.index(n) break # 将计算得到的新行置为旧行previous_line = new_linepos = (1 + i)*i/2 + jif n == 1:print(1)
else:print(int(pos))
满分方法
基本复刻了下面这个博客的代码和思想:
第十二届蓝桥杯B组C/C++省赛—H题(杨辉三角)_思维题_萌小帝的博客-CSDN博客
下文是我对这个方法的理解,可能会有一些地方说的不够清楚,推荐和大佬的原文比对着看(不过我有些标记和原文不一样,得注意一下)。如果有错误希望大家可以帮忙指正。
前言
这份代码能过洛谷的评测,在蓝桥杯系统里只有70分,,,明明自己测的所有特殊值都是对的,调了很久还是放弃了。如果有大佬能告诉我为什么过不了蓝桥杯我将感激不尽。
思路
这个方法可以概括为斜行查找。
斜行的含义
- 由于杨辉三角的对称性,可以只保留左半部分进行考虑。
也就是这样:
斜行的引入
通过图,我们可以发现通过行和列的枚举是不好的,看数据1e9也就是十亿,这是个很大的工程,因此我们试想可不可以从斜行来观察呢?
绘制示意图,图中的蓝色箭头标明了斜行的走向。
为了表达清楚,将杨辉三角原来的行称为标准行。标准行和斜行都是从0开始的。
- 观察每个斜行的首元素,可以得到:第0斜行的首元素为C(0,0),第1斜行为C(1,2),第2斜行为C(2,4),第3斜行为C(3,6)…
- 求每个斜行的首元素的通项,易得:若当前为第i个斜行,则该斜行首元素为C(i,2i)。
考虑杨辉三角和二项式系数的关系:
杨辉三角,是二项式系数C(n,m)在三角形中的一种几何排列。
对应本题,C(n,m)中的n对应于斜行的行数,m对应于标准行的行数。 这个概念是之后解题的重要依据。
枚举的思路
- 从第16斜行开始向前枚举。在斜行中查找n,出现等于n的数直接返回位置。
- 对于查找,由于斜行元素是单调递增的,因此可以对每个斜行采用二分的方法查找n。
- 对于位置,可以在查找的时候确定。遍历得到n所在标准行r和所在斜行k ,通过等差数列求和公式 r*(r+1)/2计算n之前所有标准行的元素个数再加k+1。
加粗内容的补充解释:
为什么从第16斜行开始?
题目给定的n最大到1000000000。C(17,34)=2333606220,是斜行首元素第一次大于1000000000(1e9),由于每个斜行内的元素是单调递增的,因此17斜行的每一个值都必定大于1e9。又由于每个斜行的首元素也是单调递增的,因此17斜行之后的所有斜行的所有元素都是大于1e9的。
因此,只需要考虑前16斜行即可。
为什么向前枚举时找到的第一个n就是杨辉三角中第一次出现的n?
等价于证明:若第i和第i+j个斜行中都出现了n,则第i+j个斜行中的n一定出现在第i个斜行中的n之前。
以n=6为例:
画个图可以比较直观的解释这个问题。
考虑第1个斜行出现的6。可以看到,红色区域全是大于6的值,也就是说,6不可能在这一区域出现。若有6在第1个斜行之后的斜行出现,则必然是在这个6之前的。
斜行内的元素的通项是什么?
考虑杨辉三角和二项式系数C(n,m)的关系,元素在斜行中每向前一步,对应标准行向下一行。因此,第k个斜行第一个元素为C(k,2k),第二个元素就是C(k,2k+1),依次类推。
代码
# Boundary test!
# n = int(input())'''
斜行查找
'''
import sys
# ====================
# 求解组合数C的函数
# ====================
def C(a, b):top = 1bot = 1i = bfor j in range(1, a+1):top *= ibot *= ji -= 1return top//bot# ====================
# 对第k个斜行进行二分查找的函数
# ====================
def bi_search(k):l = 2*kr = max(n, l)while r > l: # l是偏小的,r是偏大的mid = (l + r)//2median = C(k, mid)if median == n: breakelif median > n:r = mid - 1else:l = mid + 1# 没找到n,继续遍历if C(k, r) != n:return False# 找到n,输出位置print((1 + r)*r//2 + k + 1)return True# ====================
# 程序主体
# ====================
n = int(input())# 如果是1,直接输出
if n == 1:print(int(1))sys.exit()# 向前枚举
for i in range(0, 16):k = int(16 - i)# 找到n就跳出来if bi_search(k):break
下面这个博主的代码可以拿蓝桥杯系统的满分。
第十二届蓝桥杯 杨辉三角形 Python题解 满分_qq_26557263的博客-CSDN博客
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