中国剩余定理及拓展中国剩余定理模板

求解同余方程组：
{ x ≡ r 1 ( m o d m 1 ) x ≡ r 2 ( m o d m 2 ) ⋯ x ≡ r n ( m o d m n ) \left\{\begin{matrix} x\equiv r_1 \pmod {m_1}\\ x\equiv r_2 \pmod {m_2}\\ \cdots\\ x\equiv r_n \pmod {m_n}\\ \end{matrix}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x≡r1(modm1)x≡r2(modm2)⋯x≡rn(modmn)

①中国剩余定理

当 m 1 , m 2 , ⋯   , m n m_1,m_2,\cdots,m_n m1,m2,⋯,mn互质时，可用中国剩余定理解 x x x。

设 M M M为 m 1 , m 2 , ⋯   , m n m_1,m_2,\cdots,m_n m1,m2,⋯,mn的最小公倍数（LCM），由于各项互质，则有

M = ∏ i = 1 n m i M=\displaystyle\prod^n_{i=1}m_i M=i=1∏nmi

对于每一个同余方程，设一个 t i t_i ti，为同余方程 M m i t i ≡ 1 ( m o d m i ) \frac{M}{m_i}t_i\equiv 1\pmod {m_i} miMti≡1(modmi)的最小非负整数解。

则可解得同余方程组：

特解： x = ∑ i = 1 n r i M m i t i x=\displaystyle\sum^n_{i=1}r_i\frac{M}{m_i}t_i x=i=1∑nrimiMti
通解： X = x + k M      ( k ∈ Z ) X=x+kM\;\;\;\;(k\in Z) X=x+kM(k∈Z)
最小非负整数解： x m i n = ( x m o d    M + M ) m o d    M x_{min}=(x\mod M+M)\mod M xmin=(xmodM+M)modM

模板：

void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)    //拓展欧几里得 解单个同余方程
{if(b==0){x=1;y=0;d=a;}else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
LL r[maxn],m[maxn];
LL CRT()
{LL M=1,res=0;for(int i=1;i<=n;i++)M*=m[i];       //最小公倍数LCMLL a,b,d,x,y;for(int i=1;i<=n;i++){a=M/m[i],b=m[i];exgcd(a,b,d,x,y);    //解同余方程：M/m[i] * t ≡ 1 (mod m[i])//由于M/m[i]和m[i]互质，gcd恰为 1，所以一定有解x=(x%b+b)%b;         //最小非负整数解res=(res+r[i]*(M/m[i])*x)%M;   //加到特解当中}return res;
}

②拓展中国剩余定理

当 m 1 , m 2 , ⋯   , m n m_1,m_2,\cdots,m_n m1,m2,⋯,mn不一定互质时，需用拓展中国剩余定理解 x x x。

设 M k M_k Mk 为 m 1 , m 2 , ⋯   , m k m_1,m_2,\cdots,m_k m1,m2,⋯,mk（即前 k k k个 m m m）的 最小公倍数（LCM），前 k k k个方程组的一个特解为 x k x_k xk。

对于 第 k k k个同余方程，设一个 t t t，为同余方程 x k − 1 + t ∗ M k − 1 ≡ r k ( m o d m k ) x_{k-1}+t*M_{k-1}\equiv r_k\pmod {m_k} xk−1+t∗Mk−1≡rk(modmk) 的最小非负整数解。

则有 x k = x k − 1 + t ∗ M k − 1 x_k=x_{k-1}+t*M_{k-1} xk=xk−1+t∗Mk−1。

递推可解得同余方程组：

特解： x n x_n xn
通解： X = x n + k M n      ( k ∈ Z ) X=x_n+kM_n\;\;\;\;(k\in Z) X=xn+kMn(k∈Z)
最小非负整数解： x m i n = ( x n m o d    M n + M n ) m o d    M n x_{min}=(x_n\mod M_n+M_n)\mod M_n xmin=(xnmodMn+Mn)modMn

模板：

void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{if(b==0){x=1;y=0;d=a;}else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
LL r[maxn],m[maxn];
LL EXCRT()
{LL M=m[1],res=r[1];LL a,b,c,d,x,y,t;for(int i=2;i<=n;i++){                  //c转为正a=M,b=m[i],c=((r[i]-res)%m[i]+m[i])%m[i];exgcd(a,b,d,x,y);   //求解同余方程：t*M ≡ r[i]-x (mod m[i])if(c%d!=0)return -1;      //无解t=b/d;x=x*c/d;x=(x%t+t)%t;res+=x*M;  //更新xM*=t;      //更新LCM：M = M*m[i]/gcd(M,m[i])res=(res%M+M)%M;}return res;
}