一，关于波形

自然界中我们总是可以发现各种各样的波形，其中很多波形和上面的图片一样难以被我们肉眼观察。
在我们实际的工作中往往会碰到一些问题，我们手上有一段“波形”需要输入到一个系统中，来得到一个我们需要的额输出“波形”。这么说好像很抽象，其实我也觉得很抽象。举例，一个电机的控制系统，我们给定一个期望的转速波形，希望驱动器根据我们的给定信号来控制输出电压，以实现电机的转速达到我们的期望一致；举例，一段音频经过一个滤波器，得到一组去除了高频成分的音频。
根据上面奇奇怪怪的描述我们可以得到这样的结论，我们碰到了这样的问题：

一段信号 –> 系统 –> 满足我们需求的信号

这里我们设计这个“系统”来满足实际生活中的需求，在我们分析这些“系统”的时候总是会发现，实际生活中很多问题的模型需要使用微分方程甚至是高阶微分方程来描述，而且很多问题如果直接用时域上的模型来描述特别的不直观。

二，三角函数与傅里叶

我们考虑一下上面的问题，高阶微分方程不好解决，所以我们能不能考虑一些方法来避免高阶微分方程呢？

dsin(t)dt=cos(t)\frac{dsin(t)}{dt}=cos(t)
dcos(t)dt=−sin(t)\frac{dcos(t)}{dt}=-sin(t)
我们如果把一个输入波形拆成许多三角函数，这样的话我们输入一组三角函数，这些三角函数经过很多微分方程，得到依然是三角函数，这样的话我们就可以避开高阶微分方程了。
1.狄里赫利条件
数学上凡是满足狄里赫利条件的 周期函数都可以展开成 傅里叶级数，这个东西的证明自己看书吧。
2.周期函数与傅里叶级数
周期函数的数学形式：
x(t)=x(t+nT)x(t)=x(t+nT)
傅里叶级数的数学形式：
x(t)=a0+∑∞n=1(ancos(nw0t)+bnsin(nw0t))x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n cos(nw_0t)+b_nsin(nw_0t))
傅里叶级数的复数形式：
ejx=cos(x)+jsin(x)e^{jx}=cos(x)+jsin(x)
cos(x)=ejx+e−jx2cos(x)=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}
sin(x)=ejx−e−jx2jsin(x)=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}
x(t)=∑∞n=−∞cnejnw0tx(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{jnw_0t}
cn=1T0∫T00x(t)e−jnw0tdtc_n=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0} x(t)e^{-jnw_0t}dt
上面写的都是连续傅里叶级数的表达式，实际的问题解决中，绝大多数信号都会是离散的序列，所以我们把上面的展开式离散化可以得到如下的形式：
x(n)=x(n+kN)x(n)=x(n+kN)
x(n)=a0+∑∞k=1(akcos(kωsn)+bksin(kωsn))x(n)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty}(a_kcos(k\omega_sn)+b_ksin(k\omega_sn))
x(n)=∑∞k=−∞cnejkωsnx(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ne^{jk\omega_sn}
上面的式子中 ωs=2πN,N\omega_s=\frac{2\pi}{N},N为序列的周期。当k的值从0开始增加到N的时候，我们会发现k=0与k=N对应的三角函数是一样,这个时候我们看一下上面的式子里面很多k对应的三角函数都是重复的，所以我们可以进一步化简上面的式子。
x(n)=a0+∑N−1k=1(akcos(kωsn)+bksin(kωsn))x(n)=a_0+\sum_{k=1}^{N-1}(a_kcos(k\omega_sn)+b_ksin(k\omega_sn))
x(n)=∑N−1k=0ckejkωsnx(n)=\sum_{k=0}^{N-1} c_ke^{jk\omega_sn}
ck=1N∑N−1n=0x(n)e−jkwsnc_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jkw_sn}
3.非周期函数与傅里叶变换
上面的展开公式都是针对周期函数，那非周期函数呢？什么是非周期函数？从一定程度上讲周期是无穷大的周期函数就可以看出是非周期函数，那通过这个思想我们就可以得到下面几个式子：
连续:
X(w)=∫∞−∞x(t)e−jwtdtX(w)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-jwt}dt
离散：
X(w)=∑∞n=−∞x(n)e−jwnX(w)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn}
连续逆变换：
x(t)=12π∫∞−∞X(w)ejwtdwx(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(w)e^{jwt}dw
离散逆变换：
x(n)=12π∫2π0X(w)ejwndwx(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} X(w)e^{jwn}dw
上面这种数学变换我们就称之为傅里叶变换，变换得到的结果是什么呢？ 频谱密度函数。
4.DTFT,DFT,DFS与有限长序列
前面我们考虑了离散傅里叶级数（DFS）和离散时间傅里叶变换（DTFT），这些我们都是针对无限长序列考虑的，但是实际生活中我们计算机可以处理的只能是有限长序列。
如果我们对一个有限长序列进行DTFT（对序列采用补零的方式延长至无限长），可以得到如下的式子：
X(w)=∑N−1n=0x(n)e−jwnX(w)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-jwn}
x(n)=12π∫2π0X(w)ejwndwx(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} X(w)e^{jwn}dw
实际问题解决的时候，我们有时候发现这么一些问题，很多时候我们要分析的序列是无限长，但是我们能得到的序列是有限长的，这样的话问题就出现了。
对于有限长的序列我们可以采用延拓的方式，即将有限长序列周期延拓成一个周期为N无限长序列，这样的话我们对它进行离散傅里叶级数展开就可以得到如下的结果：
X(k)=∑N−1n=0x(n)e−jkwsn,ws=2πNX(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jkw_sn},w_s=\frac{2\pi}{N}
x(n)=1N∑N−1k=0X(k)ejkwsnx(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X(k)e^{jkw_sn}
上面的变换就是我们一般说的离散傅里叶变化（DFT）,观察一下上面的式子我们可以发现DFT是DTFT在 w=k2πNw=k\frac{2\pi}{N}时采样得到的结果.

三. z变换与序列

1.z变换的数学形式：

Z[x(n)]=∑n=∞n=−∞x(n)z−nZ[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} x(n)z^{-n}
在这里我们考虑一下，当 z=ejwnz=e^{jwn}时，z变换的数学形式和DTFT是一样，这里我们可以这么认为Z变换是DTFT的推广。
2.脉冲响应与线性卷积
任何一个序列我们都可以利用延时和加权的单位样本之和来得到：
x(n)=∑k=∞k=−∞x(k)δ(n−k)x(n)=\sum_{k=-\infty}^{k=\infty}x(k)\delta(n-k)
如果我们研究的系统是线性系统，线性系统具有齐次性和叠加性，这样的话我们可以先单独考虑当输入是 δ(n)\delta(n)的时候的响应，然后把x(n)拆成很多的 δ(n−k)\delta(n-k),最后把结果的这些响应叠加在一起，这样我们就可以得到x(n)的输入响应。这里我们把输入是 δ(n−k)\delta(n-k)的响应定义为单位冲击响应h(n,k).由这些我们可以得到：
y(n)=∑k=∞k=−∞x(k)h(n,k)y(n)=\sum_{k=-\infty}^{k=\infty} x(k)h(n,k)
如果我们的系统是时不变系统的话，即：
y(n)=L[x(n)]⇒L[x(n−k)]=y(n−k)y(n)=L[x(n)]\Rightarrow L[x(n-k)]=y(n-k)
用简单的话讲就是一个系统的输出与输入序列选择的输入时间点没有关系。这样的话如果考虑的系统是线性时不变系统，我们可以把上面的输入响应计算公式变成如下形式：
y(n)=∑k=∞k=−∞x(k)h(n−k)y(n)=\sum_{k=-\infty}^{k=\infty} x(k)h(n-k)
这里我们把 ∑k=∞k=−∞x(k)h(n−k)=x(n)∗h(n)\sum_{k=-\infty}^{k=\infty} x(k)h(n-k)=x(n)*h(n)这种运算称之为 线性卷积.
3.z变换的时域卷积定理

Z[x(n)∗h(n)]=∑n=−∞n=∞[∑m=−∞m=∞x(m)h(n−m)]z−n=∑m=−∞m=∞x(m)z−mH(z)=X(z)H(z) \begin{align} Z[x(n)*h(n)] & = \sum_{n=-\infty}^{n=\infty}[\sum_{m=-\infty}^{m=\infty}x(m)h(n-m)]z^{-n} \\ & = \sum_{m=-\infty}^{m=\infty} x(m)z^{-m}H(z) \\ & = X(z)H(z) \end{align}

从上面的式子我们可以很自然的得到一个结论，线性卷积具有交换律，而且这样处理问题很多问题就没有高阶微积分方程或者说是差分方程了.在考虑一个问题离散傅里叶变化是z变换的一个特例所以DTFT也具有上面的性质.DFT的结果从另一个角度看是对DTFT的一个采样，所以DFT也满足这个性质。
到这我们再考虑DFS，一个离散傅里叶级数有许多的 ejkw0ne^{jkw_0n}组成。当输入序列为 ejw0ne^{jw_0n}时:

y(n)=h(n)∗ejw0n=∑k=−∞∞h(k)ejw0(n−k)=ejw0n∑k=−∞∞h(k)e−jkw0=DTFT(h(n))|w=w0ejw0n \begin{align} y(n) & = h(n)*e^{jw_0n}\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k)e^{jw_0(n-k)} \\ &= e^{jw_0n} \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k)e^{-jkw_0} \\ &=DTFT(h(n))|_{w=w_0} e^{jw_0n} \end{align}

上面的式子中我们把DTFT(h(n))称之为频率响应，反应的物理意义是，当我们输入一组正弦波的时候该系统会把他的幅值放大的倍数和相位角变化的度数.这样的话一串三角函数叠加出来的周期函数的输入响应我们很容易就可以计算出来.
上面这个地方解释一下，在展开傅里叶技术的时候我们得到了很多的 ckc_k,这些 ckc_k的模长就是三角函数的幅值，这点很容易接受， ckc_k的相位角就是三角函数的相位角，所以可以推出上面的一些结论，关于这一点感兴趣的朋友可以自己展开证明一下。

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