谈谈计算数学（转自校内

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：

从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
最好地说明这个问题：
' [5 E9 g& e+ v
How could someone as brilliant as von Neumann think
hard about a subject as mundane as triangular factoriz * k& N/ G. n* B, K1 P" p3 V1 n
-ation of an invertible matrix and not perceive that, + X! v) g9 G* y% F# I8 z7 g8 \
with suitable pivoting, the results are impressively ; U" S& ~! v4 N
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on + `: v5 o+ e3 p- w& v. J
experience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem 5 m4 \" l, u) E) d0 j
for at least two years after the appearance of QR? Why - S6 P4 f& v1 y a9 V
did more than 20 years pass before the properties of
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
comprehension of the effects of finite-precision
arithmetic.(引自 www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf) 2 E1 H/ N ^" y+ e Z

既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所 ( Z' o+ o7 g7 _# `- v6 F
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里 ( e q+ J* @& _8 K! N' H
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。
& Q) d/ i% V) H. ]( ?) i
侯一钊（加州理工）
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流 % R5 b8 S% a% V) z1 [
http://www.acm.caltech.edu/~hou/ + {1 a4 A3 `% Q2 z& c

鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
' D% v3 W! \: ?4 v& W& R
包刚（Michigan州立大学） / U4 |: K2 d, v% I0 t2 ?
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
http://www.mth.msu.edu/~bao/ 9 d: `6 b) _- Z6 Y) _

金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等 + v; x) {4 g# Q6 Q+ }+ U. f
http://www.math.wisc.edu/~jin/
5 p# {( t, m3 V8 ]
汤涛（香港浸会大学）
中科院，研究方向：移动网格法等
http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/

舒其望（Brown大学）
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html 1 O- M# k) k! _$ t

陈汉夫（香港中文大学） 1 J. ^" F2 r) R7 F: N1 \8 Y
研究方向：数值线性代数
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/
5 r/ z& D( r; r$ _* |1 d/ G. a
许进超（Pennsylvania州立大学） * q0 z6 V7 Q) m2 |7 B" m
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
http://www.math.psu.edu/xu/ / n0 x, b5 y1 Q8 A

袁亚湘
中科院，研究方向为非线性最优化
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ + f! k' ], {5 h9 m& _" L/ \0 a, f

张平文（北京大学）
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与 ' m1 V& e3 K. M- k0 F: @
模拟、移动网格法等 6 } H8 T' ^; e9 e. m9 v6 [
http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html

陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html # T( b8 K. [1 \9 C8 L4 B& y
0 |' H$ q( \" x0 p5 l
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出 3 ~# e* I3 N0 s2 J
% F4 D4 S+ K8 F* {
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许 3 G0 z% x5 @: A( v. ?6 U
是颇有裨益的。
理论：
最好的基本是
Mathematics of Computation ; D) ^  }/ ~5 e8 e
Numerische Mathematik 1 C: O) P: `1 g: }! a
SIAM Journal on Numerical Analysis
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications ; V' s" K6 t5 M" ^" Z6 X
SIAM Journal on Scientific Computing / F# N6 T  Q" j9 V* l1 X
较好的有： , U% o$ |: d( h7 _  {
BIT
IMA Journal of Numerical Analysis * N! n( d; |) u# H) n$ D
Advances in Computational Mathematics
Inverse Problems

还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics 0 i; V/ P; n0 x) V- r8 ?- v
International Journal for Numerical Methods in Engineering
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering & `2 m* m6 y2 \& M1 h  B$ h
International Journal for Numerical Methods in Fluids
Computers and Fluids
Computational Mechanics 6 @3 d$ R: {5 p) j, L
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
也可以浏览。
! C, u7 o0 p% ^3 a
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出 % [6 @# H3 K* A  e. m
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法 $ m. Y" ~! F1 B. s
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy ( m* U  q, ^8 U- X% q; L
stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等 9 W/ q5 L- ^) c6 F) |% W+ w
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我 4 O( u6 L. r) M$ S
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。
; _5 P$ S0 N' |# I; J
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。

作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。 r, g- v5 f" u
1 K* i" Z9 U- R6 J5 G% J: Z4 m
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。

有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。 3 R$ V! O& w* L# V& a8 y0 \
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value $ w* g" N# ^1 ?% M# c
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
主页（ http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律 ' \1 g/ v5 ]: {6 r4 | m6 C/ Q' F
数值方法方面非常出色的著作。

有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method + U6 k5 D7 T. B( p4 a0 @7 n
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner ! _/ O: N( c$ r$ q" o
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element . J% Y! E2 @. v9 w7 W
Method》据说也是不错的。

谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods 4 y$ ?0 ^8 `( g7 m
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（ http://www.math.purdue.edu/~shen/
） 9 H6 u v* D( Y- g1 p: O
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的 - y, c4 r) X, J* N* l$ q
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过 7 r- G4 B" U/ Q* O y
不知道能不能再学校里找到。 % A4 e2 A- Z' H: k& i2 M, Y
5 y+ a- J6 j4 u( f
除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可 0 S: v6 ~; N8 p& U4 r0 b. l
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。 - g; T* Z1 {& @1 g+ ^; i

计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional k6 n9 e! [, m9 n# _1 f
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 / K2 Z, _9 J' S; W/ [# z4 ~
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常 7 g! E& P! a! z7 u
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理 3 y$ S6 T" |% H( I |6 G3 N
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 8 ^! @( ]/ U7 |. ?# w; p
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛 1 S# H$ H" I7 p; c0 J
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。
$ r- Q8 w1 V1 n& a& O7 h0 i" g
计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流 0 i) q& S4 `3 b- E: j
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没 * f9 U7 }+ v, T6 }( }1 ~
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。

最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于 8 S5 P: D+ R( \/ E# A
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下 7 q2 f. J+ w! ]; S
面的网址注册
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册 8 z2 J$ e# }: ]. ]- t3 ~
http://www.netlib.org/na-net 0 u, j* I I H' G# \0 g

0 @# x$ ]% H2 W8 H

先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆 . b, z3 i+ C- I6 r" C
都有中译本的。 3 [- D5 n! y: ?& ~7 e! e8 g7 B- n9 s

接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师 3 t0 u. p: p1 m9 ^+ A6 ?/ N8 z5 u
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐 ! z! Y1 s H O- t* N5 \1 i J
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方 # \% [8 y0 r0 i+ M! l. t
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面 0 n4 G! q* c1 y/ O& |' |' z' W
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
出来。 1 }. d# f/ S. A

国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,   I2 g1 Y. w9 q$ M6 p" l
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。   L5 N& N/ y" z2 }$ P+ \; y$ D
/ _* j' {- n2 T, j# K! }8 D* O1 \, J
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有， " b* T( \7 N4 h% N
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
很有启发的。现在的经典是Golub和 , \. p6 Q: A6 u4 k" i9 b; [
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译， - G7 O1 Y/ f# a. g
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上 8 |3 t* p0 [2 h) i6 w
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear % `9 H& r& z, B+ i$ H5 f" p
Algebra》，Trefethen & Bau 的
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef / j+ K# t6 d: ^# z1 P, M
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》 / @, N# i1 p0 E- A
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》， : d# v2 b" B1 }( t/ m1 T
写的挺有意思的，在他的主页
（ http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
书，《The theory of matrices in numerical analysis》 : U6 s  i  h5 d' F+ R5 X
(有中译本，系里中英文版的都有)。
) g( X' z0 f: j; a/ U
LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典， / f2 A* `- }& @7 U& p3 j& A% k
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
and Spectral methods》（在他的主页上可以 + t' }+ B- N! {( `
down， http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。 4 Q. b3 g0 C; |3 D# d! I- O  }

他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文 & y8 j4 c6 y$ L
献，也许对大家有点启发。 6 }) y4 u3 y* F- ?6 y! G
0 e! e/ R3 T% e. K _
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform ' \+ l& B) b! v, c8 y
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE 3 @8 D4 H& ]# u
3. Householder (1958) QR factorization of matrices 5 Y: |8 D7 I/ u' H1 _! R. b$ ~! N
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
6. Courant (1943) finite element methods for PDE " W$ m1 _. W# U6 v0 b
7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition 3 g; ^) r& l+ F% v! ^7 @5 c
8. Brandt (1977) multigrid algorithms
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE - ^5 F6 v, s$ x# G4 m. _( }5 }& Q
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
: ~9 }& `! Y) `! ^
他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these **s (average
age: 34), and by how short an influential ** can be
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家 : A& j- B2 s3 k7 Y3 ^* ~
都还是很有希望的，呵呵。

/ [+ y/ j! r* G* U! e
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下 : E, e6 x* B9 b$ Z, e# f/ m
9 i) Z; I- L! V9 r( p
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed ' }3 e5 v" t! P1 R* k2 \: [

Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前 7 T3 v% h+ f/ {' W# L

叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂
* V: s0 z$ M, W2 B% C. b
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的

杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical " U( |9 o, X. U* u- v% y5 B% I" o

Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM

Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on

Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。 , C, |( U! A0 R, ?

在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问 $ h) w8 k% @4 x+ f1 F( y E
, A8 K* x/ H5 E: z: U3 {/ ]
题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好
3 e% x0 m! x: v) }0 ~0 a
的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他 & w3 t/ R4 r- G5 p' {5 g/ ]

们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
; y |: r4 }. Z0 j% f5 Q
Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin ( L) `$ M2 S' O8 }3 h: R3 k7 j% ~, S
- Y& s5 z& v. W
Hanke（德国）， Isakov（美国）等。 3 O- @ H# ^+ U) U
/ C% G3 H; n& c7 _2 |3 w# w
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根
* J" r1 r( [5 \: Y# E( a* P
据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应

用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。 ) {2 v, i5 _6 l4 O+ R1 t
% }+ f: F1 ?! m4 t
水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学 , b) e/ V9 h. w: Z
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问 g1 L1 o, w5 z# ? ~" R" t7 F

题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
1 @5 E/ y* i( V
平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上 3 ?. u1 f( Y- ~) y# h- O7 @! {' ]

有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一
$ p- L9 R2 ^2 T( \
个综述和展望，值得参考。

反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学 2 Z' C! f9 _8 `4 M# v% t
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基 9 a b2 J$ O* N
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
regularization for Fredholm equation of the first kind》
是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的 - D" v% g% t$ z. Q" q) i
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction ( G. d1 A0 \# i) E; U
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的 & l# W, n, k: S* _1 i9 C f' I1 n
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
《Inverse problems for partial differential equations》， 9 ^$ F4 I0 ?- H& E0 \: x
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
Ill-posed Problems》应该也是不错的。 * j1 ~- U+ ^, f, h1 z8 d& M) [
3 s1 L, K: H5 w
在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基 7 b9 {7 Z4 [- I0 z
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是 4 |5 D4 e# N& Q& W
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论 % X; H( W1 n( D, z
了。 * B& x/ e, S6 f6 e+ U9 H

反问题的reading list 可以在下面的链接中找到： 8 J# p, i, e' b, i7 J
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
$ \) D7 ~1 x7 Z% L8 o) O
计算的热点似乎有两个特点：
一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、 ! Z$ T. k+ o: d# J% H# z
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学 ; z5 f3 N0 [3 G' n2 p3 e9 K5 ^1 R
科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
/ k6 Z. I0 A; y5 `# \0 y
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微 . N' a/ a+ F; w6 }- N5 _4 `
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。 - H9 o/ a, [& T; X; b% H4 G
这也应该是一个值得注意的地方。

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