参考链接：cv论文（Low-rank相关）_weixin_30790841的博客-CSDN博客

矩阵的秩，特征值和特征向量

1.矩阵的秩

把一个m*n的矩阵拿出来，可以得到它的行向量组（每一行是一个向量，共m个向量）或者列向量组（每一列是一个向量，共n个向量）。

我们就拿行向量组来分析：

假如这m个向量，互相全都是线性无关的，则这个矩阵的秩就是m。其实就是：有几个线性无关，则这个矩阵的秩就是几。什么是“线性无关呢”，举个例子，向量[1,2,1]和向量[2,4,2]一看就知道是*2的关系，则这两者“现行有关”；若是向量[1,2,1]和向量[1,5,2],则这两个矩阵线性无关。

要判断a1,a2,a3是否线性无关，可以令k1a1+k2a2+k3a3=0，通过解方程的方式来判断是否a1，a2，a3线性无关。若k1=k2=k3=0，则线性无关。

这里有个规律：不管是拿矩阵的行向量组还是列向量组来计算，最终得到的秩都是一样的。

我的理解：矩阵的秩就是矩阵当中互不相关的向量的个数。

2.矩阵的特征值和特征向量

首先明确，矩阵乘以向量，可以对向量起到拉伸和旋转的作用。

比如我现在有一个向量（1，1）

则它现在是这样的：

若拿一个矩阵乘以这个向量（1，1），比如拿这个矩阵来乘：

可以看出我们会得到结果（2，1），画在图上就是这个效果：

可以发现这里我们只用了一个对角矩阵，实现了对原向量在横坐标上的一个拉伸。再进一步思考，其实如果矩阵的右上角不为0，或者左下角不为0（假设是个正值），则分别会导致原向量向右旋转或向左旋转。可以得到结论：矩阵可以作用到一个向量，使其旋转或拉伸。

那有没有一类向量，我使用一个矩阵去作用之后，它的方向不变呢？有！通过这样就可以引出特征值和特征向量来：

对于一个矩阵A，我们寻找一个非零向量x，使得A作用后的x（即Ax）与x平行，并且大小上满足Ax=λx（λ是个常数）。一旦找到这样的存在，则x就是特征向量，λ就是特征值。

换个通俗的说法：我们用矩阵A去作用（乘以）世界上所有的向量。其中矩阵A作用后的大部分向量都会被旋转和拉伸，只有矩阵A的特征向量能够独善其身（保持原有的方向）~

其实，特征向量就代表了矩阵当中的“某一方向”，它能够代表矩阵的关键信息。所以这样两个拥有同样特征的存在相互作用，方向自然不会改变了。而且他们“方向”越一致（越是同道中人~），作用的结果就会越大，λx当中的特征值λ也会越大，因此特征值λ的大小也代表了这个特征向量的重要程度（相比于这一矩阵的其他特征向量）。我记得学习和接触PCA降维的时候，特征值越大的特征向量就越重要，因为这样的向量更能代表图像特征，就是这个意思。

一个矩阵有多个特征向量，我们用特征空间来表示所有这些。即特征空间包含了所有的特征向量。

我们来看特征值和特征向量的定义 $A\overrightarrow{x}=\lambda x$ 。我们来结合矩阵与空间变换的理解，矩阵对向量的作用，就是相当于把原来的空间变换到新的空间；如果我们用矩阵是线性变换的理解（形象理解线性代数（一）——什么是线性变换？），那么说就是对原来的基底的变换。

从空间的角度来理解，对于向量乘以系数其实就是对向量的缩放（长度或正负方向发生改变，但还是在同一直线上），而矩阵（方阵）的作用是空间的转变。如果一个矩阵对一个向量的作用只是对其进行了缩放，而没有角度的改变，那么这个向量就叫做特征向量，而缩放的比例就叫做特征值。（参考链接：https://blog.csdn.net/qq_34099953/article/details/84291180）

参考链接：图像的秩与矩阵的秩_深度瞎学的博客-CSDN博客_图像矩阵的秩

2、图像的秩和矩阵的秩

矩阵的秩 = 最大的线性无关的行（或列）向量的个数。对于图像而言，秩可以表示图像中包含信息的丰富程度、
冗余程度、噪声。

秩越小：

基的个数少
数据冗余性大
图像信息不丰富
图像噪声少

低秩矩阵

概念

当矩阵的秩较低时（r << n, m），就可以视其为低秩矩阵。低秩矩阵意味着，此矩阵中有较多的行（或列）是线性相关，即：信息冗余较大。

作用

利用低秩矩阵的冗余信息，可以对缺失数据进行恢复，此问题叫做 “低秩矩阵重构” ，即：“假设恢复出来的矩阵是低秩的，利用已有的矩阵元素，恢复出矩阵中的缺失元素”，可以应用在图像修复、协同过滤等领域。
在深度学习中，卷积核的参数过多，往往存在较大的冗余，即：卷积核参数是低秩的。此时，可以对卷积核进行低秩分解，将k × k 的卷积核分解为一个k × 1 和一个1×k的核，这样可以降低参数量、提高计算速度、防止过拟合。

稀疏编码

为什么要稀疏编码？
首先，存在一个假设（也是事实，算是先验知识）——自然界的信号组成是稀疏的。进行稀疏编码后，可以达到降维，提高计算效率的作用。

图像与秩

问题：如何界定一个图像或一个物体具有低秩属性？具有高秩属性的图像，如存在缺失现象，应如何恢复，现有何方法可以解决？
回答：在图像处理问题中，图像的秩可以简单理解为图像所包含的信息丰富程度，图像由于局部分块之间的相似性、重复性，往往具有低秩的属性；图像的秩比较高，可能是因为图像噪声的影响，通过低秩的限制，应该能够很好的达到去噪的效果。

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