本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。

目录

单变量函数的极限

极限的定义

普通极限

L=lim⁡x→x0f(x)L=\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}L=x→x0​lim​f(x)

左极限

L=lim⁡x→x0−f(x)L=\lim_{x \rightarrow x_0^-} {f(x)}L=x→x0−​lim​f(x)

右极限

L=lim⁡x→x0+f(x)L=\lim_{x \rightarrow x_0^+} {f(x)}L=x→x0+​lim​f(x)

matlab实现方法

L=limit(fun, x, x0) % //普通极限

L=limit(fun, x, x0, 'left') % //左极限

L=limit(fun, x, x0, 'right') % //右极限

应用举例

求解极限：L=lim⁡x→0sinxxL=\lim_{x \rightarrow 0} {\frac{sin x}{x}}L=x→0lim​xsinx​

syms x; f=sin(x)/x; L=limit(f, x, 0)

求解极限： L=lim⁡x→∞x(1+ax)xsinbxL=\lim_{x \rightarrow \infty} {x(1+\frac{a}{x})^x sin \frac{b}{x}}L=x→∞lim​x(1+xa​)xsinxb​

syms x a b

f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)

L = limit(f, x, inf)

求解单边极限：

syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')

用下面的语句还可以绘制出(−0.1,0.1)(-0.1,0.1)(−0.1,0.1)区间的函数曲线。

x0=-0.1:0.001:0.1;

y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));

plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')

函数曲线如下：

可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。

L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)

求函数 tanttan ttant 在 π/2\pi/2π/2 点处的左右极限。

syms t; f=tan(t);

L1=limit(f,t,pi/2,'left')

L2=limit(f,t,pi/2,'right')

求下面序列的极限

syms n positive

f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);

F = limit(f,n,inf)

求下面序列函数的极限

syms x n

f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;

F = limit(f,n,inf)

多变量函数的极限

matlab实现方法

多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

假设有二元函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

则可以嵌套使用limit()函数。例如:

L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)

L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)

如果x0x_0x0​或y0y_0y0​不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如x→g(y)x \rightarrow g(y)x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。

假设有二元函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限

L=lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)L=\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0) } {f(x,y)}L=(x,y)→(x0​,y0​)lim​f(x,y)

理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

应用举例

试求出二元函数极限值

syms x a; syms y positive;

f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);

L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)

重极限的尝试 ，求解重极限

syms x y;

f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);

L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)

L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)

L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)

L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)

判断重极限是否存在

证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿y=kxy=kxy=kx趋近。

syms r x y

f=x*y/(x^2+y^2);

L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)