概率论与数理统计

1. 概率论
- 1.1. 古典概率论
- - 1.1.1. 基础概念
  - 1.1.2. 事件关系与运算法则
  - 1.1.3. 概率的定义
  - 1.1.4. 古典概型
  - 1.1.5. 几何概型
  - 1.1.6. 概率的基本性质和公式
  - 1.1.7. 独立性
- 1.2. 近代概率论
- - 1.2.1. 随机变量
  - - 1.2.1.1. 一维随机变量
    - 1.2.1.2. 二维随机变量
  - 1.2.2. 数字特征
2. 数理统计

1. 概率论

1.1. 古典概率论

1.1.1. 基础概念

1、随机试验
满足以下 3 3 3 个条件的试验，称为随机试验，简称试验：

相同条件下可重复
结果不唯一且可知
结果事先不可确定

2、随机事件
试验的结果称为随机事件，简称事件，用大写字母表示。

必然事件：试验中必然发生的事件，记为 Ω \varOmega Ω
不可能事件：试验中必然不发生的事件，记为 Ø \text{\O} Ø

3、样本空间
试验的每一个可能结果，称为样本点，记为 ω \omega ω
样本点的全体集合，称为样本空间，记为 Ω \varOmega Ω，即 Ω = { ω } \varOmega=\{\omega\} Ω={ω}
一个样本点称为一个基本事件
随机事件由若干基本事件组成

1.1.2. 事件关系与运算法则

1、关系

包含：若事件 A A A 发生必导致事件 B B B 发生，则称事件 B B B 包含事件 A A A，记为 A ⊂ B A\sub B A⊂B
相等： ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ A ) ⇔ ( A = B ) ( A\sub B) \wedge (B \sub A) \hArr (A=B) (A⊂B)∧(B⊂A)⇔(A=B)
相容： A ∩ B ≠ Ø A \cap B \not= \text{\O} A∩B=Ø
互斥： A ∩ B = Ø A \cap B = \text{\O} A∩B=Ø
对立： ( A ∩ B = Ø ) ∧ ( A ∪ B = Ω ) (A \cap B = \text{\O})\wedge(A \cup B= \varOmega) (A∩B=Ø)∧(A∪B=Ω)

差事件： 称 “事件 A A A 发生而事件 B B B 不发生” 的事件为差事件，记为 A − B A-B A−B
逆事件： 称 “事件 A A A 不发生” 的事件，为事件 A A A 的逆事件，记为 A ‾ \overline{A} A

2、运算法则

吸收律： ( A ⊂ B ) ⇔ ( A ∪ B = B ) ∧ ( A ∩ B = A ) (A\sub B)\hArr(A\cup B=B)\wedge(A\cap B=A) (A⊂B)⇔(A∪B=B)∧(A∩B=A)
交换律： A ∪ B = B ∪ A A \cup B = B \cup A A∪B=B∪A， A ∩ B = B ∩ A A\cap B=B\cap A A∩B=B∩A
结合律： ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
分配律： A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)， A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)， A ∩ ( B − C ) = ( A ∩ B ) − ( A ∩ C ) A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A\cap C) A∩(B−C)=(A∩B)−(A∩C)
对偶律： A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B} A∪B=A∩B， A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B} A∩B=A∪B

1.1.3. 概率的定义

1、描述性定义
略

2、统计性定义
用频率表示概率，记为 p = k n p=\cfrac{k}{n} p=nk，其中 k k k 表示若干次试验中事件 A A A 发生的次数， n n n 表示试验的次数

3、公理化定义
设试验的样本空间为 Ω \varOmega Ω，若对任意事件 A A A 都有一个确定的实数 P ( A ) P(A) P(A)，且事件函数 P ( ⋅ ) P(\cdot) P(⋅) 满足：

非负性： P ( A ) ⩾ 0 P(A)\geqslant 0 P(A)⩾0
规范性： P ( Ω ) = 1 P(\varOmega)=1 P(Ω)=1
可列可加性： P ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infin} A_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infin}P(A_i) P(i=1⋃∞Ai)=i=1∑∞P(Ai)

则称 P ( ⋅ ) P(\cdot) P(⋅) 为概率， P ( A ) P(A) P(A) 为事件 A A A 的概率
注：概率的公理化定义，是近代概率论理论系统的基础

1.1.4. 古典概型

性质

有限性
等可能性

基本公式
P ( A ) = k n P(A)=\cfrac{k}{n} P(A)=nk

方法

列举法：适用范围：基本事件（样本点）数量较少
集合对应法：
- 2.1. 加法原理： ∑ i = 1 n m i \displaystyle{\sum_{i=1}^n}m_i i=1∑nmi， n n n 类方法，每类 m m m 种方法
- 2.2. 乘法原理： ∏ i = 1 n m i \displaystyle{\prod_{i=1}^n}m_i i=1∏nmi， n n n m m m
- 2.3. 排列： P n m = n ! ( n − m ) ! P_n^m=\cfrac{n!}{(n-m)!} Pnm=(n−m)!n!，从 n n n 个不同样本点中取出 m m m 个样本点，考虑样本点的位序
- 2.4. 组合： C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_n^m=\cfrac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!(n−m)!n!，从 n n n 个不同样本点中取出 m m m 个样本点，不考虑样本点的位序

注：逆数法：直接求 P ( A ) P(A) P(A) 不容易的时候，可以逆向思维，求 1 − P ( A ‾ ) 1-P(\overline{A}) 1−P(A)。常常用于求带有 “至少”、“至多” 的事件概率

1.1.5. 几何概型

性质

可度量性：样本空间 Ω \varOmega Ω 是一个可度量的有界区域
等可能性：每个样本点发生的可能性都一样

基本公式
P ( A ) = A 的几何度量 Ω 的几何度量， A = { 样本点落入区域 A } ， S A ⊂ Ω P(A)=\dfrac{A的几何度量}{\varOmega\ 的几何度量}，A=\{样本点落入区域A\}，S_A \sub \varOmega P(A)=Ω 的几何度量A的几何度量，A={样本点落入区域A}，SA⊂Ω

1.1.6. 概率的基本性质和公式

1、性质

有界性： ∀ A ⇒ 0 ⩽ P ( A ) ⩽ 1 \forall A \Rarr 0\leqslant P(A)\leqslant 1 ∀A⇒0⩽P(A)⩽1，
P ( Ø ) = 0 P(\text{\O})=0 P(Ø)=0， P ( Ω ) = 1 P(\varOmega)=1 P(Ω)=1
单调性： A ⊂ B ⇒ P ( B − A ) = P ( B ) − P ( A ) ⇔ P ( A ) ⩽ P ( B ) A\sub B\Rarr P(B-A)=P(B)-P(A)\Harr P(A)\leqslant P(B) A⊂B⇒P(B−A)=P(B)−P(A)⇔P(A)⩽P(B)

公式

求逆公式： P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline{A})=1-P(A) P(A)=1−P(A)
加法公式： P ( A 1 + A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) − P ( A 1 A 2 ) P(A_1+A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1A_2) P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1A2)
P ( A 1 + A 2 + A 3 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + P ( A 3 ) − P ( A 1 A 2 ) − P ( A 1 A 3 ) − P ( A 2 A 3 ) + P ( A 1 A 2 A 3 ) P(A_1+A_2+A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1A_2)-P(A_1A_3)-P(A_2A_3)+P(A_1A_2A_3) P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)−P(A1A2)−P(A1A3)−P(A2A3)+P(A1A2A3)
减法公式： P ( A 1 − A 2 ) = P ( A 1 ) − P ( A 1 A 2 ) = P ( A 1 A 2 ‾ ) P(A_1-A_2)=P(A_1)-P(A_1A_2)=P(A_1\overline{A_2}) P(A1−A2)=P(A1)−P(A1A2)=P(A1A2)
条件概率公式： P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) , P ( A ) > 0 P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)},\ P(A)>0 P(B∣A)=P(A)P(AB), P(A)>0
乘法公式： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) , P ( A ) > 0 P(AB)=P(A)P(B|A),\ P(A)>0 P(AB)=P(A)P(B∣A), P(A)>0
全概率公式：
P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(B)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n}P(A_i)P(B|A_i) P(B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai) ⋃ i = 1 n A i = Ω \displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}A_i=\varOmega i=1⋃nAi=Ω， A i A j = Ø ( i ≠ j ; i , j = 1 , 2 , … , n ) A_iA_j=\text{\O}(i\not=j;i,j=1,2,\dots,n) AiAj=Ø(i=j;i,j=1,2,…,n)， P ( A i ) > 0 P(A_i)>0 P(Ai)>0， B = ⋃ i = 1 n A i B B=\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}A_iB B=i=1⋃nAiB
贝叶斯公式： P ( A j ∣ B ) = P ( A j ) P ( B ∣ A j ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) , ( j = 1 , 2 , … , n ) P(A_j|B)=\dfrac{P(A_j)P(B|A_j)}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}P(A_i)P(B|A_i)},\ (j=1,2,\dots,n) P(Aj∣B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai)P(Aj)P(B∣Aj), (j=1,2,…,n)
⋃ i = 1 n A i = Ω \displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}A_i=\varOmega i=1⋃nAi=Ω， A i A j = Ø ( i ≠ j ; i , j = 1 , 2 , … , n ) A_iA_j=\text{\O}(i\not=j;i,j=1,2,\dots,n) AiAj=Ø(i=j;i,j=1,2,…,n)， P ( A i ) > 0 P(A_i)>0 P(Ai)>0， P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0

1.1.7. 独立性

1、事件的独立性

直观性定义：设 A 、 B A、B A、B 为两个事件，若其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件 A A A 与 B B B 相互独立
公式化定义：若 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A A A 与 B B B 相互独立

A 、 B 、 C A、B、C A、B、C 两两独立
{ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) \begin{cases} P(AB)=P(A)P(B) \\ \\ P(AC)=P(A)P(C) \\ \\ P(BC)=P(B)P(C) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)

A 、 B 、 C A、B、C A、B、C 相互独立
{ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) \begin{cases} P(AB)=P(A)P(B) \\ \\ P(AC)=P(A)P(C) \\ \\ P(BC)=P(B)P(C)\\ \\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

1.2. 近代概率论

1.2.1. 随机变量

1.2.1.1. 一维随机变量

1.2.1.2. 二维随机变量

1.2.2. 数字特征

2. 数理统计

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