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前言

堆排序、快速排序、归并排序（下篇会写这两种排序算法）的平均时间复杂度都为O（n*logn）。要弄清楚堆排序，就要先了解下二叉堆这种数据结构。本文不打算完全讲述二叉堆的所有操作，而是着重讲述堆排序中要用到的操作。比如我们建堆的时候可以采用堆的插入操作（将元素插入到适当的位置，使新的序列仍符合堆的定义）将元素一个一个地插入到堆中，但其实我们完全没必要这么做，我们有执行操作更少的方法，后面你会看到，我们基本上只用到了堆的删除操作，更具体地说，应该是删除堆的根节点后，将剩余元素继续调整为堆的操作。先来看二叉堆的定义。

二叉堆

二叉堆其实是一棵有着特殊性质的完全二叉树，这里的特殊性质是指：

1、二叉堆的父节点的值总是大于等于（或小于等于）其左右孩子的值；

2、每个节点的左右子树都是一棵这样的二叉堆。

如果一个二叉堆的父节点的值总是大于其左右孩子的值，那么该二叉堆为最大堆，反之为最小堆。我们在排序时，如果要排序后的顺序为从小到大，则需选择最大堆，反之，选择最小堆，这点通过后面对堆排序分析，你会有所体会。

堆排序

由二叉堆的定义可知，堆顶元素（即二叉堆的根节点）一定为堆中的最大值或最小值，因此如果我们输出堆顶元素后，将剩余的元素再调整为二叉堆，继而再次输出堆顶元素，再将剩余的元素调整为二叉堆，反复执行该过程，这样便可输出一个有序序列，这个过程我们就叫做堆排序。

由于我们的输入是一个无序序列，因此要实现堆排序，我们要先后解决如下两个问题：

1、如何将一个无序序列建成一个二叉堆；

2、在去掉堆顶元素后，如何将剩余的元素调整为一个二叉堆。

针对第一个问题，可能很明显会想到用堆的插入操作，一个一个地插入元素，每次插入后调整元素的位置，使新的序列依然为二叉堆。这种操作一般是自底向上的调整操作，即先将待插入元素放在二叉堆后面，而后逐渐向上将其与父节点比较，进而调整位置。但正如前言中所说，我们完全用不着一个节点一个节点地插入，那我们要怎么做呢？我们需要先来解决第二个问题，解决了第二个问题，第一个问题问题也就迎刃而解了。

调整二叉堆

要分析第二个问题，我们先给出以下前提：

1、我们排序的目标是从小到大，因此我们用最大堆；

2、我们将二叉堆中的元素以层序遍历后的顺序保存在一维数组中，根节点在数组中的位置序号为0。

这样，如果某个节点在数组中的位置序号为i，那么它的左右孩子的位置序号分别为2i+1和2i+2。

为了使调整过程更易于理解，我们采用如下二叉堆来分析（注意下面的分析，我们并没有采用额外的数组来存储每次去掉的堆顶数据）：

这里数组A中元素的个数为8，很明显最大值为A0，为了实现排序后的元素按照从小到大的顺序排列，我们可以将二叉堆中的最后一个元素A7与A0互换，这样A7中保存的就是数组中的最大值，而此时该二叉树变为了如下情况：

为了将其调整为二叉堆，我们需要寻找4应该插入的位置。为此，我们让4与它的孩子节点中最大的那个，也就是其左孩子7，进行比较，由于4<7,我们便把二者互换，这样二叉树便变成了如下的形式：

接下来，继续让4与其左右孩子中的最大者，也就是6，进行比较，同样由于4<6，需要将二者互换，这样二叉树变成了如下的形式：

这样便又构成了二叉堆，这时候A0为7，是所有元素中的最大元素。同样我们此时继续将二叉堆中的最后一个元素A6和A0互换，这样A6中保存的就是第二大的数值7，而A0就变为了3，形式如下：

为了将其调整为二叉堆，一样将3与其孩子结点中的最大值比较，由于3<6，需要将二者互换，而后继续和其孩子节点比较，需要将3和4互换，最终再次调整好的二叉堆形式如下：

一样将A0与此时堆中的最后一个元素A5互换，这样A5中保存的便是第三大的数值，再次调整剩余的节点，如此反复，直到最后堆中仅剩一个元素，这时整个数组便已经按照从小到大的顺序排列好了。

据此，我们不难得出将剩余元素继续调整为二叉堆的操作实现代码如下（同前面两篇博文中一样，我们不需每次比较后都交换元素位置，代码中可以再次体会到这点）：

[cpp] view plain copy

/*
arr[start+1...end]满足最大堆的定义，
将arr[start]加入到最大堆arr[start+1...end]中，
调整arr[start]的位置，使arr[start...end]也成为最大堆
注：由于数组从0开始计算序号，也就是二叉堆的根节点序号为0，
因此序号为i的左右子节点的序号分别为2i+1和2i+2
*/
void HeapAdjustDown(int *arr,int start,int end)
{
int temp = arr[start]; //保存当前节点
int i = 2*start+1; //该节点的左孩子在数组中的位置序号
while(i<=end)
{
//找出左右孩子中最大的那个
if(i+1<=end && arr[i+1]>arr[i])
i++;
//如果符合堆的定义，则不用调整位置
if(arr[i]<=temp)
break;
//最大的子节点向上移动，替换掉其父节点
arr[start] = arr[i];
start = i;
i = 2*start+1;
}
arr[start] = temp;
}

这样，将已经建好的二叉堆进行排序的代码如下：

[cpp] view plain copy

//进行堆排序
for(i=len-1;i>0;i--)
{
//堆顶元素和最后一个元素交换位置，
//这样最后的一个位置保存的是最大的数，
//每次循环依次将次大的数值在放进其前面一个位置，
//这样得到的顺序就是从小到大
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[0];
arr[0] = temp;
//将arr[0...i-1]重新调整为最大堆
HeapAdjustDown(arr,0,i-1);
}

建立二叉堆

搞懂了第二个问题，那么我们回过头来看如何将无序的数组建成一个二叉堆。

我们同样以上面的数组为例，假设其数组内元素的原始顺序为：A[]={6,1,3,9,5,4,2,7}，那么在没有建成二叉堆前，个元素在该完全二叉树中的存放位置如下：

这里的后面四个元素均为叶子节点，很明显，这四个叶子可以认为是一个堆（因为堆的定义中并没有对左右孩子间的关系有任何要求，所以可以将这几个叶子节点看做是一个堆），而后我们便考虑将第一个非叶子节点9插入到这个堆中，再次构成一个堆，接着再将3插入到新的堆中，再次构成新堆，如此继续，直到该二叉树的根节点6也插入到了该堆中，此时构成的堆便是由该数组建成的二叉堆。因此，我们这里同样可以利用到上面所写的HeapAdjustDown(int *,int,int)函数，因此建堆的代码可写成如下的形式:

[cpp] view plain copy

//把数组建成为最大堆
//第一个非叶子节点的位置序号为(len-1)/2
for(i=(len-1)/2;i>=0;i--)
HeapAdjustDown(arr,i,len-1);

如果还不是很明白，注意读下HeapAdjustDown(int *,int,int)函数代码中关于该函数作用的注释。

完整源码

最后贴出完整源码：

[cpp] view plain copy

/*******************************
堆排序
Author:兰亭风雨 Date:2014-02-27
Email:zyb_maodun@163.com
********************************/
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
/*
arr[start+1...end]满足最大堆的定义，
将arr[start]加入到最大堆arr[start+1...end]中，
调整arr[start]的位置，使arr[start...end]也成为最大堆
注：由于数组从0开始计算序号，也就是二叉堆的根节点序号为0，
因此序号为i的左右子节点的序号分别为2i+1和2i+2
*/
void HeapAdjustDown(int *arr,int start,int end)
{
int temp = arr[start]; //保存当前节点
int i = 2*start+1; //该节点的左孩子在数组中的位置序号
while(i<=end)
{
//找出左右孩子中最大的那个
if(i+1<=end && arr[i+1]>arr[i])
i++;
//如果符合堆的定义，则不用调整位置
if(arr[i]<=temp)
break;
//最大的子节点向上移动，替换掉其父节点
arr[start] = arr[i];
start = i;
i = 2*start+1;
}
arr[start] = temp;
}
/*
堆排序后的顺序为从小到大
因此需要建立最大堆
*/
void Heap_Sort(int *arr,int len)
{
int i;
//把数组建成为最大堆
//第一个非叶子节点的位置序号为len/2-1
for(i=len/2-1;i>=0;i--)
HeapAdjustDown(arr,i,len-1);
//进行堆排序
for(i=len-1;i>0;i--)
{
//堆顶元素和最后一个元素交换位置，
//这样最后的一个位置保存的是最大的数，
//每次循环依次将次大的数值在放进其前面一个位置，
//这样得到的顺序就是从小到大
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[0];
arr[0] = temp;
//将arr[0...i-1]重新调整为最大堆
HeapAdjustDown(arr,0,i-1);
}
}
int main()
{
int num;
printf("请输入排序的元素的个数：");
scanf("%d",&num);
int i;
int *arr = (int *)malloc(num*sizeof(int));
printf("请依次输入这%d个元素（必须为整数）：",num);
for(i=0;i<num;i++)
scanf("%d",arr+i);
printf("堆排序后的顺序：");
Heap_Sort(arr,num);
for(i=0;i<num;i++)
printf("%d ",arr[i]);
printf("\n");
free(arr);
arr = 0;
return 0;
}

测试结果如下：

总结

最后我们简要分析下堆排序的时间复杂度。我们在每次重新调整堆时，都要将父节点与孩子节点比较，这样，每次重新调整堆的时间复杂度变为O（logn），而堆排序时有n-1次重新调整堆的操作，建堆时有（（len-1）/2+1）次重新调整堆的操作，因此堆排序的平均时间复杂度为O（n*logn）。由于我们这里没有借用辅助存储空间，因此空间复杂度为O（1）。

堆排序在排序元素较少时有点大才小用，待排序列元素较多时，堆排序还是很有效的。另外，堆排序在最坏情况下，时间复杂度也为O（n*logn）。相对于快速排序（平均时间复杂度为O（n*logn），最坏情况下为O（n*n）），这是堆排序的最大优点。

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二叉堆

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