写在前面：

1. 本文适合初三学生；
2. 本文所讲的方法，可供平时的学习开拓思维，考试时也许可以帮你得分，但请慎用！
3. 创作不易，喜欢的话不要只收藏呀，双击屏幕有惊喜哦~

2019.6.2 更新了一道例题&知识补充

2019.6.3 修正部分错误

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一、什么是解析几何？

平面几何是初中数学学习的核心内容之一，也是最大的学习难点之一，尤其是面对圆或平行四边形的压轴题时，不少优等生也会望而却步，因为采用传统平面几何解题的思维难度太大了。在历史上，就连数学家们的想法也是类似的：

传统的数学工具对某些运动问题已经无能为力，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学即近代数学的诞生. 变量数学的第一个标志就是解析几何的发明，解析几何学的诞生改变了整个数学的面貌，是数学发展史上重要的里程碑。（出自人教版高中数学《选修3-1：数学史选讲》）

于是，聪明的数学家们想出了一种新的研究几何问题的方法——解析几何。

解析是利用解析式来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫坐标几何。（百度百科）

解析几何的这一段定义、甚至是这个名字本身听起来就很高大上。但其实，我们已经接触过解析几何中最关键的一部分了——解析式。一次函数、二次函数的解析式，这是大家再熟悉不过的。

有了解析式，我们就可以把平面几何问题，转化为求解方程的问题了。例如，求平面上两条直线的交点，我们可以联立两条直线的解析式得到方程组进而解出交点。

说了这么多，还没有一点实际的，那就放一个例子：

例1 （2019·某高中月考题改编，有删节）如图，在

这道题思路其实不难，但是计算量并不小。用传统的平面几何方法要写这么多：

解：如图，作

交

于点

.

∵在

中，

∴

∵

∴

∵

∴

∴

那么

，

.

∴

由勾股定理，

.

好，做完题目了，我们来反思一下有没有可以改进的地方。

这道题目的核心，其实就是利用勾股定理计算线段长度。进一步说，最为关键的，就是要找到

点与

点水平距离以及竖直距离。

数学敏感的同学已经发现了：放在平面直角坐标系里，两个点的横坐标之差就是它们水平方向上的距离，纵坐标之差就是它们竖直方向上的距离。

可是题目里没有直角坐标系啊？

没关系，我们自己建系！

如图，以

根据题目的条件，我们很容易观察出图中几个点的坐标：

想一想，C点的坐标是怎么求出来的？想不到的话，可以看评论区）

有些老师可能已经教过平面直角坐标系里两点之间距离的公式了，但如果没有，也别担心：

设

是平面直角坐标系中的任意两点，那么

之间的距离（常记作

）为

.

这个公式不难推导，请你尝试用勾股定理完成对它的证明。

由于

看到这里，你可能还没觉得解析几何（通俗了说就是建系法）有多好用。没关系，精彩在后面呢。

二、解析几何中必备的一些基础知识

1. 两点间距离公式（上文已经给出，此处略去）。
2. 平面中直线的表示：

我们已经知道，任意一次函数的解析式

都能代表直线。但有两种直线是不能这样表示的：平行于

轴和平行于

轴的直线。因此，我们用

来表示任意一条平行于

轴的直线，这条直线上任意一点的纵坐标都为

；用

来表示任意一条平行于

轴的直线，这条直线上任意一点的横坐标都为

。

这样，平面中任意一条直线的方程都可以用一个方程表示出来，我们把这些表示直线的方程称为直线方程。

3. 斜率：

对任意一条直线

，其

斜率即为

，表示直线的倾斜程度。

的绝对值越大，直线越陡峭。特别地，对于

型的直线方程，我们称其

斜率不存在。

4. 两条直线平行或垂直的判定：

已知直线

和

则：

当且仅当

时，两条直线平行；

时，两条直线垂直。（很重要！）

※5. 圆的方程

重点来了。圆的标准方程

中，有三个参数

，即圆心坐标为

，半径为

；只要求出

，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

理解：直线方程是

，代表一条直线，这条直线上的任意一点

都满足这个方程；圆的标准方程是

，代表圆上的任意一点

也都满足这个方程。

推导过程：根据圆的定义：圆上任意一点到圆心的距离等于半径以及两点间距离公式得出。

6. 求任意直线与直线、圆与直线、圆与圆的交点

有了上面的知识储备，这就很简单了。我们只要把两个代表直线或曲线的方程联立，解出所得到的二元方程组，就能求出交点坐标了。

7. 三角函数进阶

上文中提到了斜率

，那么这个东西有什么实际用途呢？

有的！除了平行于

轴的直线，任意一条直线都一定会与

轴有且只有一个交点。并且，这条直线与

轴正半轴的夹角（称之为倾斜角）的正切值，就是这条直线的斜率。

例如，直线

的斜率是

，那么这条直线与

轴的夹角就是

.

可是问题来了，如果一条直线的倾斜角是钝角，斜率，也就是钝角的正切值如何计算呢？
这就需要一些三角函数的进阶知识——
· 初中学习了锐角三角函数，但其实，对于任意的角，无论是正是负，都有它的三角函数值，这个值可正可负；
· 对于任意的的角

来说，我们有公式（高中称

诱导公式）：

——利用这些公式，可以把非锐角转化为锐角从而计算三角函数值。
· 同角三角函数有以下两个关系：

（

表示角

的正弦值的平方）

（对于任意一个角，已知其正弦或余弦或正切，都可以用这些关系算出另外两个三角函数值，即“知一得二”）
· 三角函数的和角公式（差角公式只要把正号变成负号，负号变成正号）：

三、实战讲解

看到这里，你可能还觉得上面的知识点看起来云里雾里。没关系，用一道中考压轴题来为你拨开迷障（是的，建系法可以秒压轴题！）：

例2 （2018·广东中考·24）如图，四边形

（1）证明：

（2）若

（3）在（2）条件下，连接

第（1）（2）问难度不大，只讲第（3）问.

这题的标准解法是做辅助线构造相似三角形，但我们完全可以用上面讲的建系方法来做。

建系时，可以把任何点作为坐标原点，但原点所在的直线最好有较多直线与之平行、垂直，以方便求出其他点的坐标。

在这道题中，以

建系之后得到这样一个图：

这道题如果用平面几何方法做，至少要几十分钟；建系的话，五分钟之内就可以搞定。

就是这么简单粗暴。

2019.6.2更新 感谢 @用手指戳他鼻孔 提供的题目~

例3 （2015·湖北荆门）已知，如图，

是

的直径，点

为

上一点，

于点

，交

于点

，

与

交于点

，点

为

的延长线上一点，且

.

（1）求证：

（2）求证：

（3）若

第（1）（2）问比较简单，适合用平几方法做，这里讲如何用建系法解第（3）问。

很显然，我们以

连接

而

的正弦值已知，结合同角三角函数的关系与和角公式，

而

因为

联立

又因为

联立

所以