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矩阵与魔方 ——魔方中的数学

孟昭旭

笔名：十日 M

上海交通大学

笔者作为魔方速拧运动的爱好者，此前就了解到魔方与线性代数有着某些关系，由于知识层面的限制，一直未能深入了解，在较为系统的学习了线性代数课程后，笔者对线性代数中的矩阵有了初步的认识和了解，因此笔者探究了魔方中蕴含的线性代数知识。鉴于能力有限，本文只探究最基础的三阶魔方与三阶矩阵之间的关系。

魔方转动与矩阵表示

1

三阶魔方是一个立方体，因此我们首先以魔方中心为原点建立一个三维空间直角坐标系。

如图，我们可得到魔方与三维空间的对应关系，我们首先始终关注魔方的RUF角块(即图中的红黄蓝角块)，则我们可将其坐标记为初始状态s=(x，y，z)。

魔方转动中，各个面的顺时针转动分别用R(右)，L(左)，U(上)，D(下)，F(前)，B(后)表示，逆时针转动用字母加“ ‘ ”表示。鉴于魔方的对称性，我们只烤虑魔方在RUF(分别对应yzx轴)方向上的转动。

y方向(R)：

经过y轴方向顺时针旋转，我们得到第二个状态a=(x’,y’,z’)=(z,y,-x)。

根据矩阵的乘法规则，假设存在三阶矩阵R，使得R*a=S，即：

z方向(U)：

经过z轴方向顺时针旋转，我们得到第三个状态b=(x’,y’,z’)=(-y,x,z)。同上，我们假设存在矩阵U，则有：

X方向(F)：

经过x轴方向顺时针旋转，我们得到第四个状态c=(x’,y’,z’)=(x,-z,y)。同上，我们假设存在矩阵F，则有：

通过上面的展示，我们得到了矩阵R、U、F，我们可以利用这些3*3矩阵表示魔方的转动。

魔方与矩阵乘法

2

有了上述魔方转动的矩阵表达，我们不妨用矩阵乘法表示魔方的连续旋转。

例如：

我们首先进行RU操作：

得到魔方状态如图。

我们再进行UR操作：

得到魔方状态如图。

显然R*U≠U*R。

我们可以明显的看到，两次变换中魔方的状态明显不同，这也证明了矩阵的乘法不同于普通的数的乘法，前后两项的顺序在一般条件下不可交换，两次同样的旋转操作不同的操作顺序得到的魔方的状态不同就说明了矩阵乘法的规律。

魔方与矩阵的逆

3

由第一部分可知，

同理，可计算得到

我们不妨假设复原状态的矩阵为

，则显然有E*s=s，即复原状态的矩阵为三阶单位矩阵。

我们发现：

而

F*F’=F’*F=E

根据可逆矩阵的定义显然，F和F’互为逆矩阵，而在魔方的操作中，对魔方进行FF’和F’F操作魔方都会从还原态变回还原态。

再比如，我们首先对魔方进行RUR’U’,得到的魔方状态如图：

经过上述步骤我们容易算出

那么，我们要求该矩阵的逆，即相当于对魔方进行相应的逆操作URU’R’，经过计算得到

不难验证，这两个矩阵互为逆矩阵。

即在魔方旋转中，将一种变换逆序操作所对应的矩阵就是原先变换对应矩阵的逆矩阵。

总结

从上述现象中我们可以发现，矩阵与魔方确实有着密切的联系，二者之间存在着相互印证的关系，魔方的变换既可以由矩阵的乘法表示，又可以从魔方的变换中看出矩阵乘法的性质以及魔方与矩阵的逆的关系，其本质是由于魔方的旋转可以看作是三维空间中的坐标变换，而矩阵本身就具有连接坐标变换的关系这一几何意义，因而魔方的旋转就可以看作矩阵与原坐标向量的乘法运算。

魔方作为新兴的一种手指极限运动，其中所包含的数学知识远不止矩阵这么简单。魔方绝不仅仅只是小孩子手中的玩具，其中蕴含的丰富数学知识以及人生哲理，始终深深的吸引着我和所有的魔友，更值得我们认真的去探究与感悟。

图片来源：

VisualCube Editor

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