NOI Online #2入门组

A 未了

题目描述

由于触犯天神，Sisyphus 将要接受惩罚。
宙斯命令Sisyphus推一块儿巨石上长度为L的山坡。Sisyphus匀速向上推的速度为每年v的长度（由于是匀速，故经过1/2年将能向上推v/2的长度）。然而，宙斯并不希望Sisyphus太快到达山顶。宙斯可以施展n个魔法，若他施展第i个魔法，那么Sisphus第一次到达位置ai时，他将会同巨石一起滚落山底，并从头推起。（滚落的时间忽略不计，即可看做第一次到达位置ai后， Sisyphus立即从山地重新出发）
现在，宙斯有q个询问。每个询问ti，他want to know，他最少需要实战多少个魔法才能使Sisphus到达山顶所用的年数大于ti。

题目思路

根据题目描述，使用第i个魔法相当于多走了a[i]的路，路越长，时间越长，所以根据贪心思想，因为要求最少使用的魔法数量，假设长度不变，那么取得魔法增加的路程越长，数量就越少，根据这个，我们可以排序，然后算出前i个魔法使用后的时间，（排好序后，取前i个一定是最优方案）。
下面，就是取多少个的问题了。
显然，数列满足单调性（因为排序了呗），二分即可。
详细内容见代码

代码

double  L, v;
double a[N];
double b[N];
long long a;
//b[i] 表示使用前i个魔法后爬上山顶所用的时间
bool cmp(int a, int b)
{return a > b;}
int main()
{cin >> n >> L >> v;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];}sort(a+1, a+n+1, cmp);//魔法长度从大到小排序：贪心b[0] = L / v//t = s / v, 小学内容。。。for(int i = 1; i <= n; i++){b[i] = a[i] / v + b[i-1];//把每一块多走得时间给我加上}int q;cin >> q;while（q--)//对于每一个询问{double t, ans;cin >> t;if(b[mid] <= t){printf("-1\n");return 0;}//如果所有魔法都使用了但爬上山顶的时间还是小于t的话， 无解， 输出-1//下面是二分。。。int l = 0; r = n, ans = 0;while(l <= r){int mid = (l+r) >> 1;if(b[mid] > t)//使用前mid个魔法所用的时间超过t的话{ans = mid;r = mid-1;}else{l = mid + 1;}}printf("%d\n", ans);}return 0;
}//完结撒花。。。

呵呵，其实后面都没有这么详细的代码了。。。

B 荆轲刺秦王

题目描述

咸阳宫的地图可以描述为一个n行m列的矩形。在这里，我们规定每一行从左到右为x轴正方向，每一列中从上到下y轴为正方向，左下角点的坐标为（1，1）。矩形中的点可以分为4种：
1.起点，也就是荆轲所在点，在地图中用字符’s’代表。
2.终点，也就是嬴政所在点，在地图中用字符’T’代表。
3.卫兵，再地图中用一个正整数ai,ja_{i,j}ai,j代表。在这里，，一个卫兵(i,j)(i,j)(i,j)可以观察到与他曼哈顿距离小于ai,ja_{i,j}ai,j的点，也就是卫兵(i,j)(i,j)(i,j)可以观察到所有满足 ∣x−i∣+∣y−j∣<ai,jai,jai,j的点(x,y)(x,y)(x,y)。
4.空地，在地图中用字符’.'代表，
荆轲的正常移动方式为每秒向八连通的任意方向前进一格。如下图，中间的点为荆轲当前所在点。每一秒，他可以走向其余的八个点。
需要注意的是，正常移动时，荆轲不能踏进任何一个有卫兵或者卫兵能观察到的格子。当然，他也不能走出咸阳宫，也就是说，无论何时，荆轲的坐标（x,y)都必须满足1≤x≤m1 \leq x \leq m1≤x≤m且1≤y≤n1 \leq y \leq n1≤y≤n
荆轲还有两种技能：隐身和瞬移。
1.隐身：下一秒荆轲进入隐身状态，卫兵观察不到荆轲，荆轲可以进入卫兵的观察范围内，但仍然不能进入卫兵所在的格子。注意这个状态只能持续一秒
2.瞬移：荆轲下一秒移动的距离改为d，但这时只能向上下左右四个方向移动
即可以移动到(x+d,y),(x−d,y),(x,y+d),(x,y−d)(x+d, y), (x-d, y), (x, y+d), (x, y-d)(x+d,y),(x−d,y),(x,y+d),(x,y−d).在本题中，两种技能同时使用，而且不考虑冷却时间，即一次用完可以立即用下一次，两种技能都分别有使用次数限制，你也可以不用完所有次数。
现在给出咸阳城的地图，请计算荆轲到达秦王所在点所需的最短时间。此外，在所用时间相同情况下，荆轲希望使用的两种技能总次数尽可能少；在所用时间与技能次数相同情况下，荆轲希望使用的隐身次数尽可能少。

题目描述

我跪了。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
一看就是搜索（对，搜索，做完后再也不想学搜索）
广搜显然是靠谱的。
状态肯定有坐标，当前走的步数，瞬移和隐身。
结构大约是这样的：

可能大家还有点懵，或者说完全懵，那么看代码吧。。。。细节在里面。

代码

struct Point
{int step;//从起点到当前点走了多少步int x;//横坐标int y;//纵坐标int tl;//已经用的瞬移次数int inv;//已经用的隐身次数Point(){}Point(int a, int b, int c ,int d, int e){step = a;x = b;y = c;inv = d;tl = e;}//构造函数
};
Point ans = {0x3f3f3f3f, 0, 0, 0x3f3f3f3f, 0x3f3f3f3f};//答案
int n, m, c1, c2, d;
int map[310][310];//地图
int sx, sy, ex, ey;//终起点坐标
int vis[310][310][310][310]//vis[i][j][k][l]对应x, y, inv, tl;
int bl[310][310];//被看到次数的差分数组；
void lookaround(int x, int y, int k)//卫兵所处位置（x,y)和他的值
{//分别处理横坐标与纵坐标的区间， 左+， 右减。//枚举到（x, y) 点的距离for(int i=0;i<=k;i++){bl[max(x-i,1)][max(y-(k-i),1)]++; bl[max(x-i,1)][min(y+(k-i),m)+1]--;bl[min(x+i,n)][max(y-(k-i),1)]++;bl[min(x+i,n)][min(y+(k-i),m)+1]--;}//max， min是为了防止越界。
}
bool islook[310][310];//当前格子是否能被卫兵看见
void solve()
{for(int i=1;i<=n;i++){int sum=0;for(int j=1;j<=m;j++){sum+=bl[i][j]; //求出islook数组（前缀和）if(sum>0)islook[i][j]=1;//有卫兵能看到这儿  }}
}
queue<Point> q;
Point better(Point a, Point b)
{/*请计算荆轲到达秦王所在点所需的最短时间。此外，在所用时间相同情况下，荆轲希望使用的两种技能总次数尽可能少；在所用时间与技能次数相同情况下，荆轲希望使用的隐身次数尽可能少。*///根据这个， 可以翻译出这样一段代码if(a.step != b.step){return a.s < b.s? a : b;}if(a.tl + a.inv != b.tl + b.inv){return a.tl + a.inv < b.tl + b.inv ? a : b;}return a.inv < b.inv ? a : b;
}
const int dx[8]={1,0,-1,0,1,-1,-1,1},dy[8]={0,1,0,-1,1,1,-1,-1};//坐标变化量， bfs里用循环枚举下一步位置。
void bfs()
{while(!q.empty()){Point now = q.front();q.pop();if(q.step > ans.step){continue;//如果当前状态的步数已经比答案步数要大， 没有必要搜索下去了，因为你后来肯定还要走。}if(now.x == ex && now.y == ey)//如果当前状态已经走到终点了{ans = better(ans,now);//答案去两者更好的那一个。continue;}for(int i = 0; i < 8; i++)//不瞬移, 八连通{int nx = now.x + dx[i];int ny = now.y + dy[i];//下一步做标if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m||map[nx][ny]>0)continue;//越界和有卫兵在那站着的格子都不能走到if(islook[nx][ny])//被卫兵看到， 要用隐身{if(vis[nx][ny][now.inv+1][now.tl]||now.inv+1>c1)continue;//隐身次数超过上限或当前状态已经在队列了vis[nx][ny][now.inv+1][now.tl] = 1;q.push((Point){s+1,nx, ny, now.inv+1, now.tl});}else//不隐身{if(vis[nx][ny][now.inv][now.tl]){continue;}vis[nx][ny][now.inv][now.tl] = 1;q.push((Point){s+1，nx, ny, now.inv, now,tl});}} for(int i = 0; i < 4; i++)//瞬移， 只能走上下左右四个方向{int nx = now.x + dx[i]*d;int ny = now.y + dy[i]*d;//一次能走d格if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m||map[nx][ny]>0)continue;if(islook[nx][ny])//还要用隐身{if(vis[nx][ny][now.inv+1][now.tl+1]||now.inv+1>c1 || now.tl+1>c2){continue;}vis[nx][ny][now.inv+1][now.tl+1] = 1;q.push((Point){s+1,nx, ny , now.inv+1, now.tl+1});}else//不用隐身{if(vis[nx][ny][now.inv][now.tl+1]||now.tl+1 > c2){continue;}vis[nx][ny][now.inv][now.tl+1] = 1;q.push((Point){s+1, nx, ny, now.inv, now.tl+1});}}
}
int main()
{cin >> n >> m >> c1 >> c2 >> d;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){string s;cin >> s;//输入;if(s == 'S')//是起点， 对应-1（这是自己想的对应关系， 下面也是{sx = i;sy = j;map[sx][sy] = -1;q.push((Point){0, sx, sy, 0, 0});//bfs第一个状态.vis[sx][sy][0][0] = 1;//此状态在队列里.}else if(s == 'T')//终点对应-2；{ex = i;ey = j;map[ex][ey]  = -2;}//空地为0；else//卫兵。{int x=0;for(int i=0;i<s.size();i++)x=(x<<1)+(x<<3)+(s[i]^'0');//类似快读。map[i][j] = x;//他站的位置lookaround(i, j, x-1);//他看到的位置。}}}solve();//求出每个格子是否被卫兵看到bfs();//广搜if(ans.step = 0x3f3f3f3f)//没被更新过{printf("-1\n");}else{printf("%d %d %d\n", ans.step, ans.inv, ans.tl);}return 0;
}

体会到了吐血的感觉qwq

C 建设城市

题目描述

球球是一位建筑师。一天，他收到市长的任务：建设城市。球球打算建造2n座高楼。为了保证城市美观，球球做出了如下计划：
1.球球喜欢整齐的事物，他希望高楼从左到右排成一行，编号依次为1~2n。
2.他喜欢整数，他要求每座高楼的高度都是正整数。
3.由于材料限制，高楼的高度无法超过m。
4.球球喜欢中间高两边低的造型，他要求前n座楼高度不下降，后n座楼高度不上升。
5.球球打算选两座编号为x,y的高楼作为这座城市的地标，他认为只有当这两座高楼高度相等时，才会让城市变得美观。
球球把自己的想法告诉了市长。市长希望得知所有建设城市的方案数。两种方案不同，当且仅当某座高楼的高度在两个方案中不同。这个问题可难倒了球球。球球找到了你，希望你能帮他算出答案。由于答案可能很大，你只需要给出答案对998244353 取模后的结果。

题目思路。

首先，因为x和y相等，而且这个数列最值肯定是n（由4推出）。所以我们可以分情况讨论。

1.(x <= n < y)

枚举x, y高度，设当前为h。则：
1~x-1的取值范围是[1,h]。
x+1~n的取值范围是[h, m];
n+1~y的取值范围是[h,m];
y+1~2n的取值范围是[1,h];
可见，我们只要求出每一块的方案数，再根据分步乘法计数原理全乘起来就是最后的答案啦。
那么怎么求呢。
假设当前有a个数，取值范围里有b个数，那么方案数是。。。
看这儿！！
由此可以得到每块儿答案为Ca+b−1b−1C_{a+b-1} ^ {b-1}Ca+b−1b−1

2. （x, y 在n同侧）

将（x, y)中间那部分看成一个高楼，那么可见答案就为Cn+m−1m−1×Cn+m+x−y−1m−1C_{n+m-1}^{m-1} \times C_{n+m+x-y-1} ^{m-1}Cn+m−1m−1×Cn+m+x−y−1m−1
最后取模和逆元，你懂的。。。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long longusing namespace std;const int N=2e5+5;
const int p=998244353;
ll ksm(ll a,ll b){ll s=1,m=a; while(b){if(b&1)s=s*m%p; m=m*m%p,b>>=1;} return s;}ll m,n,x,y,ans,fc[N],ifc[N];
ll C(ll m,ll n){return fc[n+m-1]*ifc[n]%p*ifc[m-1]%p;}int main(){cin>>m>>n>>x>>y;fc[0]=1; for(int i=1;i<=m+n;i++)fc[i]=fc[i-1]*i%p;ifc[m+n]=ksm(fc[m+n],p-2); for(int i=m+n-1;~i;i--)ifc[i]=ifc[i+1]*(i+1)%p;if(x<=n&&y>n)for(int i=1;i<=m;i++)ans=(ans+C(i,x-1)*C(m-i+1,n-x)%p*C(m-i+1,y-n-1)%p*C(i,2*n-y))%p;else ans=C(m,n)*C(m,n+x-y)%p;cout<<ans<<endl;return 0;
}