分蛋糕问题

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描述
有一块矩形大蛋糕，长和宽分别是整数w 、h。现要将其切成m块小蛋糕，每个小蛋糕都必须是矩形、且长和宽均为整数。切蛋糕时，每次切一块蛋糕，将其分成两个矩形蛋糕。请计算：最后得到的m块小蛋糕中，最大的那块蛋糕的面积下限。

假设w= 4, h= 4, m= 4，则下面的切法可使得其中最大蛋糕块的面积最小。

假设w= 4, h= 4, m= 3，则下面的切法会使得其中最大蛋糕块的面积最小:

输入
共有多行，每行表示一个测试案例。每行是三个用空格分开的整数w, h, m ，其中1 ≤ w, h, m ≤ 20 ， m ≤ wh. 当 w = h = m = 0 时不需要处理，表示输入结束。
输出
每个测试案例的结果占一行，输出一个整数，表示最大蛋糕块的面积下限。
样例输入

4 4 4
4 4 3
0 0 0

样例输出

4
6

题目以及在线测试代码：平台

思路

设 way（w,h,m）蛋糕的宽、高，以及需要的刀数,其中刀数等于需要分成的小蛋糕数-1。
根据题目要求，求出ways(W,H,M-1);

首先，先不考虑递推的问题，而且要想出递归的思路。因为递归的思路更为符合人的思考，在得出递归思路后再将其转为递推就好。
递归思路：
假设当切需要切一刀，求出竖着切与横着切那个比较小
既：
w，h，m = min（SV，SH）//通过现在的最小得到蛋糕宽和高
return ways(w,h,m-1) ； //通过递归调用求出再切一刀后的最小下限

然后是边界条件：
if(wh < m+1)//边界蛋糕最小是11的矩阵，wh蛋糕最多可以用 wh-1 刀来切
return INFI;//无穷大
if(m==0)
return wh; // wh

递推思路：
边界条件：
递推的边界条件与递归的边界条件相同
递推公式： SV为第一刀竖着切时能得到的最好结果，SH为第一刀横着切时能得到的最好结
果，则ways(w,h,m) = min(SV,SH)
SV = min{ Si, i = 1 … w-1 },其中: Si = 为第一刀左边宽为i的情况下的最好结果
递推式:
SV为第一刀竖着切时能得到的最好结果，SH为第一刀横着切时能得到的最好结
果，则ways(w,h,m) = min(SV,SH)
SV = min{ Si, i = 1 … w-1 },
其中: Si = 为第一刀左边宽为i的情况下的最好结果
Si = min{ max(ways(i,h,k),ways(w-i,h,m-1-k)), k = 0… m-1 }

郭炜老师思路讲解视频：链接

代码

代码使用动态规划思路解题

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INFI = 0xfffffff;
int w,h,m;//蛋糕的宽、高， 以及需要的刀数
int dp[21][21][450];int ways(int w,int h,int m) {if(w*h < m+1) //边界 蛋糕最小是1*1的矩阵，w*h蛋糕最多可以用 w*h-1 刀来切return INFI;//无穷大if(m==0)return w*h;   // w*hif( dp[w][h][m] != 0)return dp[w][h][m];int mx = INFI;int k1,k2;//竖着切   i为切的位置 从 i到w-1 for(int i = 1; i <= w-1; i++) {//在i的位置切完后左边还要切j刀，刀数是0到m-1 for(int j = 0; j <= m-1; j++) {k1 = ways(i,h,j);    //左半边 k2 = ways(w-i,h,m-1-j);  //右边边 mx = min(mx, max(k1,k2) );}}//横着切for(int i=1; i <= h-1; i++) {for(int j = 0; j <= m-1; j++) {k1 = ways(w,i,j);k2 = ways(w,h-i,m-1-j);mx = min(mx, max(k1,k2) );}}dp[w][h][m] = mx;return mx;/*   min(sv,sh);sv = min (si ,i= 1..... w-1) si为第一刀左边宽为i的情况下最好的结果w = i       w = w-ih = h      h = hm = m-1Si = min{ max(ways(i,h,j),ways(w-i,h,m-1-j)), j = 0... m-1 }    */
}
int main() {while(cin>>w>>h>>m) {if(w==0 || h==0)break;cout<<ways(w,h,m-1)<<endl; //需要 M 个小蛋糕，必然需要切 M-1刀}return 0;
}

附上：算法入门学习方法浅谈

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