背包问题–问题描述

解决步骤

1.建立行(物品)-列(容量)矩阵

== w为物品体积矩阵==

首先将背包的容量作为列，物品作为行
当物品1出现时：(体积为3，价值为1)
在背包容量为3时可以装下物品1，此时背包的最大价值为1

2.分析物品2 3 4出现后，矩阵变化

当物品2出现时：(体积为4，价值为5)
背包容量为4时，既可以容纳物品1，也可以容纳物品2，两者只能容纳一个，取两者极大值max价值
背包容量为7时，可以容纳物品1和物品2，两者取和

这里i表示规律情况，括号中表示举例情况

详细分析：在背包容量递增过程中

例如容量为7时，当前物品价值为v[i] （此时即5）
1.选择了第i个物品（第2个）之后，剩余容量为j-w[i] （7-4）即 3,然后找第i-1个物品（即第1个物品）容量为3时，背包的最大价值为 dp[i-1][j-w[i]]+v[i]（此处即6）
2.不选择该物品时，背包最大价值为5
上述两者取极大值 max(5，6)，此处取6

当物品3 物品4出现，依次类推可得矩阵

3. 得到状态转移方程

dp[i-1][j]:不选该物体的最大价值
dp[i-1][j-w[i]]+v[i]:选了该物体后剩余空间最大价值+该物体的价值
上述两者取极大值
即 max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

4.在实验过程中，对取极大值的疑问

在测试了前三个物品时，发现dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，是一直大于dp[i-1][j] 的
我们只取dp[i-1][j-w[i]]+v[i]的数据，在第四个物品出现时，矩阵变化如下：

分析：在第4个物品（体积为7，价值为9）进入容量为9的背包时（即上图红圈部分）
1.若选择该物品，则背包剩余为2，只能容下第4个物品，此时最大价值为9
2.若不选择该物品，dp[i-1][j]为11，即放第三个物品的时候，最大价值为11（因为此时可以放第3个物品和第2个物品，这两个物品的体积总和为11）
综上，取max的操作不可省略

python该背包问题代码

c = 10
w = [3,4,5,7]
v = [1,5,6,9]
n = len(w)# 建立 n行c列的矩阵
dp = [[0 for i in range(c+1)] for j in range(n+1)]w.insert(0,0)
v.insert(0,0)# for i in dp:
#     print(i)for i in range(1,n+1):  # i是物体编号for j in range(1,c+1):  # j是背包容量if (w[i] <= j): # 如果当前物品所需空间 小于等于 j个空间容量dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])else:dp[i][j] = dp[i-1][j]print("最大价值为",dp[n][c])

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