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2021届甘肃省金昌市一中高三下学期高考一模考试

数学(理)参考答案

B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B

10．D

因为，将的图象所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，即可知函数的最小正周期为，故A正确；

当时，，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；

当时，，所以函数的图象关于对称，故C正确；

因为，，故D错误.

11．A

因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为

由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，

因为离心率为，即，可得，

所以，

所以双曲线的方程为：，

因为颈部高为20厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为，

将代入双曲线可得，解得：，

所以瓶口直径为，

12．C

因为，所以，

且定义域为关于原点对称，所以是奇函数，

又因为，所以在上单调递增，

又因为，所以，

所以对恒成立，所以对恒成立，

所以对恒成立，所以即可，

又由对勾函数的单调性可知在上单调递增，所以，

所以，即，

13． 14．

15．

因为与球心在同一平面内，

所以是的外心，设球半径为，

则，

当到所在面的距离为球的半径时，三棱锥体积最大，

故

所以，解得，

故球表面积为,

16．(1)(2)(4)

由，是两条不同的直线，，是两个不同平面，知：

在(1)中，若，，，则与平行或异面，错误；

在(2)中，若，，则与相交、平行或，错误；

在(3)中，若，，则由面面垂直的判定定理得，正确；

在(4)中，若，，，则与相交或平行，错误．

17．(1)，；(2)4302.

(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

，

．

是与的等差中项，

又，，解得．

(2)

数列前项中与数列的公共项共用项，且最大公共项为．

又，，

18．(1)如图，连接，

由知，点为的中点，

又因为为圆的直径，所以，

由知，

所以为等边三角形，从而，

因为平面，

又平面，所以，

由，得平面，

又平面，所以；

(2)以为原点，、和所在直线分别为轴、轴和轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设，由，，得，，

所以，，，，

所以，，

由平面，知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则，即，得，

令，得，

设二面角的平面角的大小为，由图可知为锐角，

则，

所以二面角的余弦值为.

19．(1)表格见解析，有的把握；(2)分布列见解析，.

(1)由题意得列联表如下：

不太了解

比较了解

合计

男性

女性

合计

. 因为，

所以有的把握认为学生对“”的了解程度与性别有关；

(2)由题意抽取的名学生中“比较了解”的频率为，

故抽取该校名学生对“”技术“比较了解”的概率为，

，，，1，2，3，

即的分布列如下

所以.

20．(1)抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1；(2)证明见解析．

(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，

则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，

故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．

(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，

所以kPA＝－kPB，即＝－．

又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，

从而有，即，得y1＋y2＝－4，

故直线AB的斜率kAB＝．

21．(1)最小值为，最大值为；(2)－2．

(1)因为，所以

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

则在，上的最小值为，

又(1)，，(1)，

则函数在，上的最大值为，

综上：在，上的最小值为，最大值为；

(2)由已知得在，上恒成立，

因为，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，

因为函数在，上单调递增，

所以当时，函数取得最小值为，所以，

故实数的最大值为．

22．(1)，(为参数)；(2)，.

(1)由得的直角坐标方程为，即，

由得曲线的参数方程为(为参数)；

(2)设，

则到直线的距离为

时，.

，，

，，.

2021届甘肃省金昌市一中高三下学期高考一模考试数学(理)试卷

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