python 椭圆曲线加法_椭圆曲线上点的运算
https://aaron67.cc/2020/09/26/ec-point-operation/
对定义在有限域上的椭圆曲线
E
=
(
p
,
a
,
b
,
G
,
n
,
h
)
E = (p, a, b, G, n, h)
E
=
(
p
,
a
,
b
,
G
,
n
,
h
)
y
2
≡
x
3
+
a
x
+
b
(
m
o
d
p
)
y^2 \equiv x^3 + ax + b \pmod{p}
y
2
≡
x
3
+
a
x
+
b
(
m
o
d
p
)
本文将通过代码计算下面两个问题：
已知曲线上的点
P
=
(
x
P
,
y
P
)
P = (x_P, y_P)
P
=
(
x
P
,
y
P
)
和
Q
=
(
x
Q
,
y
Q
)
Q = (x_Q, y_Q)
Q
=
(
x
Q
,
y
Q
)
，求点
R
=
P
+
Q
R = P + Q
R
=
P
+
Q
已知整数
k
k
k
，求点
K
=
k
⋅
G
K = k \cdot G
K
=
k
⋅
G
比特币使用的椭圆曲线由
Secp256k1
标准定义，我们可以事先声明好这些参数，并实现一些基础方法。
import collections
EllipticCurve = collections.namedtuple('EllipticCurve', 'name p a b g n h')
curve = EllipticCurve(
name='Secp256k1',
p=0xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffefffffc2f,
a=0,
b=7,
g=(0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798, 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8),
n=0xfffffffffffffffffffffffffffffffebaaedce6af48a03bbfd25e8cd0364141,
h=1,
)
def on_curve(point):
"""Returns True if the given point lies on the elliptic curve."""
if point is None:
# None represents the point at infinity.
return True
x, y = point
return (y * y - x * x * x - curve.a * x - curve.b) % curve.p == 0
def negative(point):
"""Returns -point."""
assert on_curve(point)
if point is None:
# -0 = 0
return None
x, y = point
result = (x, -y % curve.p)
assert on_curve(result)
return result
点的(代数)加法
当
P
=
−
Q
(
x
Q
,
−
y
Q
m
o
d
p
)
P = -Q\ (x_Q, -y_Q \bmod{p})
P
=
−
Q
(
x
Q
,
−
y
Q
m
o
d
p
)
时，根据定义，
P
+
Q
=
0
P + Q = 0
P
+
Q
=
0
，结果为理想点(无穷远点)。
当
P
≠
−
Q
P \neq -Q
P
=
−
Q
时，有
x
=
(
m
2
−
x
P
−
x
Q
)
m
o
d
p
x = (m^2 - x_P - x_Q) \bmod{p}
x
=
(
m
2
−
x
P
−
x
Q
)
m
o
d
p
y
=
(
y
P
+
m
(
x
R
−
x
P
)
)
m
o
d
p
=
(
y
Q
+
m
(
x
R
−
x
Q
)
)
m
o
d
p
y = (y_P + m(x_R - x_P)) \bmod{p} = (y_Q + m(x_R - x_Q)) \bmod{p}
y
=
(
y
P
+
m
(
x
R
−
x
P
)
)
m
o
d
p
=
(
y
Q
+
m
(
x
R
−
x
Q
)
)
m
o
d
p
对于
m
m
m
，当
P
≠
Q
P \neq Q
P
=
Q
时，
m
=
(
y
P
−
y
Q
)
(
x
P
−
x
Q
)
−
1
m
o
d
p
m = (y_P - y_Q)(x_P - x_Q)^{-1} \bmod{p}
m
=
(
y
P
−
y
Q
)
(
x
P
−
x
Q
)
−
1
m
o
d
p
当
P
=
Q
P = Q
P
=
Q
时，
m
=
(
3
x
P
2
+
a
)
(
2
y
P
)
−
1
m
o
d
p
m = (3 x_P^2 + a)(2 y_P)^{-1} \bmod{p}
m
=
(
3
x
P
2
+
a
)
(
2
y
P
)
−
1
m
o
d
p
综上，
R
=
(
x
m
o
d
p
,
−
y
m
o
d
p
)
R = (x \bmod{p}, -y \bmod{p})
R
=
(
x
m
o
d
p
,
−
y
m
o
d
p
)
。
注意，在计算
m
m
m
时，用到了模
p
p
p
的除法(模逆元)，相关概念及代码请参考之前的
文章
。
def add(p, q):
"""Returns the result of p + q according to the group law."""
assert on_curve(p)
assert on_curve(q)
if p is None:
# 0 + q = q
return q
if q is None:
# p + 0 = p
return p
#
# p == -q
#
if p == negative(q):
return None
#
# p != -q
#
x1, y1 = p
x2, y2 = q
if p == q:
m = (3 * x1 * x1 + curve.a) * modular_multiplicative_inverse(2 * y1, curve.p)
else:
m = (y1 - y2) * modular_multiplicative_inverse(x1 - x2, curve.p)
x = m * m - x1 - x2
y = y1 + m * (x - x1)
result = (x % curve.p, -y % curve.p)
assert on_curve(result)
return result
标量积(数乘运算)
标量积(scalar multiplication)的定义可以从加法扩展，其中
k
k
k
为正整数。
k
⋅
P
=
P
+
P
+
.
.
.
+
P
⏟
_
k
个
k \cdot P = \underbrace{P + P + ... + P}\_{k\ 个}
k
⋅
P
=
P
+
P
+
.
.
.
+
P
_
k
个
通过调用已实现的加法并循环累加结果，可以直接求得点
141
P
141P
1
4
1
P
的坐标，但这样要做 140 次加法运算。
因为椭圆曲线上点的加法，满足交换律和结合律，所以我们可以用“倍乘法”改进。将 141 用二进制表示
14
1
10
=
1000110
1
2
141_{10} = 10001101_{2}
1
4
1
1
0
=
1
0
0
0
1
1
0
1
2
也就是说
141
P
=
2
7
P
+
2
3
P
+
2
2
P
+
2
0
P
141P = 2^7P + 2^3P + 2^2P + 2^0P
1
4
1
P
=
2
7
P
+
2
3
P
+
2
2
P
+
2
0
P
改进后的计算过程为
计算
2
P
=
P
+
P
2P = P + P
2
P
=
P
+
P
，即
2
1
P
2^1P
2
1
P
计算
4
P
=
2
P
+
2
P
4P = 2P + 2P
4
P
=
2
P
+
2
P
，即
2
2
P
2^2P
2
2
P
计算
8
P
=
4
P
+
4
P
8P = 4P + 4P
8
P
=
4
P
+
4
P
，即
2
3
P
2^3P
2
3
P
……
计算
2
7
P
2^7P
2
7
P
计算
2
7
P
+
2
3
P
+
2
2
P
+
2
0
P
2^7P + 2^3P + 2^2P + 2^0P
2
7
P
+
2
3
P
+
2
2
P
+
2
0
P
得到
141
P
141P
1
4
1
P
只需要做 10 次加法运算。显而易见，随着
k
k
k
的增大，“倍乘法”能显著提升
k
⋅
P
k \cdot P
k
⋅
P
的计算效率。
def scalar_multiply(k, point):
"""Returns k * point computed using the double and add algorithm."""
assert on_curve(point)
if k % curve.n == 0 or point is None:
return None
if k < 0:
# k * point = -k * (-point)
return scalar_multiply(-k, negative(point))
# Double and add
result = None
while k:
if k & 1:
result = add(result, point)
point = add(point, point)
k >>= 1
assert on_curve(result)
return result
验证
我们使用之前
文章
中的例子，来验证一下代码的正确性。
if __name__ == '__main__':
a = 0xf97c89aaacf0cd2e47ddbacc97dae1f88bec49106ac37716c451dcdd008a4b62
print('a =', hex(a))
ag = scalar_multiply(a, curve.g)
print('x =', hex(ag[0]))
print('y =', hex(ag[1]))
运行结果为
a = 0xf97c89aaacf0cd2e47ddbacc97dae1f88bec49106ac37716c451dcdd008a4b62
x = 0xe46dcd7991e5a4bd642739249b0158312e1aee56a60fd1bf622172ffe65bd789
y = 0x97693d32c540ac253de7a3dc73f7e4ba7b38d2dc1ecc8e07920b496fb107d6b2
完整代码
参考
Elliptic Curve Cryptography: a gentle introduction
原文
译文
Elliptic Curve Cryptography: finite fields and discrete logarithms
原文
译文
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