第四届传智杯小卡与质数（java实现）

原题链接

题目背景

小卡迷上了质数！

题目描述

小卡最近迷上了质数，所以他想把任何一个数都转化为质数！

小卡有 T次询问，每次给你一个数字 x，问有多少个比 x 小的非负整数 y，使得 x⊕y 是质数，其中 ⊕ 表示按位异或。

输入格式

第一行一个正整数 $T(1\leqslant T\leqslant 10^{5})$ ，表示有 T组询问。

接下来 T行，每行一个正整数 $x(1 \leqslant x \leqslant 10^{6})$ 。

输出格式

对于每组询问，输出一行一个整数，表示答案。

输入输出样例

输入

输出

时间限制：1s，空间限制：128MB

解析：

跟着我的思路来，你一定会搞清楚这题的。

我们用暴力解的话，一共T次询问，每次要枚举y（x-1）个数，所以时间复杂度为O(Ty)。显然是超时的。这道题主要考察的是对于异或的理解与运用。

1.题目要求x^y=k，这个k必须是个质数。对于异或运算，我们得明白一个原理：x^y=k<==>x^k=y，这个你自己模拟两个数推一下就能理解，如果不明白请弄明白再看下去。这样我们就可以转换问题为，x异或上哪些质数k，使得结果y比x小。

2.我们先不强求k为一个质数，先来研究一下x异或上哪些非负数使得结果y比x小。举个例子， $(90)_{10}$ 的二进制数为 $(1011010)_{2}$ ，它的二进制数有7位。如果我们将 $(90)_{10}$ 异或上一个数位比7位多的二进制数，其结果肯定是八位二进制数，肯定比 $(90)_{10}$ 大。所以两个二进制数异或后的结果的数位，取决于较大的那个数的数位。对于 $(1011010)_{2}$ 来说，我们首先肯定要用数位等于小于它的二进制数异或，其结果才能小于 $(90)_{10}$ 。我们通过下面例子分析，1011010⊕(1000000~1111111)间的数都会比1011010小，为什么呢？不管后面的数怎么异或，我们把最高位的1通过异或变成了0，所以不管后面怎样，其结果肯定小于90，而(1000000~1111111)就是 $(2^{6}\sim 2^{7}-1)$ 。

如图上图所示，对于 $(1011010)_{2}$ 来说，我们把它第二个1异或为0，前提是前面的数都为0，这让第7、6位的10保持不变，而通过第二个1变成0来使得变小。这里我解释得不好，总之大家一定要按自己的方式理解这点。所以我们只要找出所有1的位置，就可以确定对应区间： $(2^{4}\sim 2^{5}-1)$ , $(2^{3}\sim 2^{4}-1)$ , $(2^{1}\sim 2^{2}-1)$ ，只有异或这些区间，我们才能使得结果y小于x。

3.现在我们可以找到哪些区间异或x其结果小于x。然后我们只要知道这些区间中有多少个质数就能得出答案。对于区间中筛选质数，我这里用的是欧拉筛，如果不会欧拉筛自行百度了解其原理。

现在我来说明一些代码实现的细节。真正实现时我们是先要筛选出质数，再进行其他操作。那我们的筛选范围如何确定呢？通过上面分析，要和x异或后的结果小于x，那这个数肯定要数位小于等于x，题目说x最大为100万，100万的二进制数位为20位，所以我这里就取最大可能值二进制为20个1的1048575。我们获取到每个具体x后，其实要找各个区间中的质数个数，也就是这种区间 $(2^{3}\sim 2^{4}-1)$ 。而这个区间仔细想想，它就代表二进制数位有3位的所有数。那怎样的数才能数位有3位？显然它的最高位1在第3位就能满足这个条件。所以我们筛选完质数后，可以再开个数组cnt，cnt[i]就表示二进制数位为i的数中有多少个质数。

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;public class Main {//因为x最大值10⁶的二进制数位为20，所以能和它异或的最大数就是20个1static final int N = 1048576;public static void main(String[] args) throws IOException { InputReader in = new InputReader();//t：询问次数，x：每次询问的具体数字，ans：输出的答案，m：质数个数int t = in.nextInt(), x, ans, m;boolean[] nums = new boolean[N];//表示1~1048576int[] primes = new int[N];//用来装质数m = sievePrime(nums, primes);//这种解法就只需要筛一次int[] cnt = new int[21];//用来装每个区间中的质数个数，每次询问只需要来这里查//看看每个质数二进制数位是多少for (int i = 1; i <= m; i++) for (int j = 20; j >= 1; j--) //1 << 6：1000000//假设primes[i] &上1000000不等于0的话，就说明它最高位为6//从20开始遍历可以保证最先不为0的就是最高位if ((primes[i] & (1 << (j - 1))) != 0) {cnt[j]++;break;//找到最高位就跳出}while (t-- > 0) {//t次询问x = in.nextInt();ans = 0;for (int i = 20; i >= 1; i--) //找出x二进制中每个1的所在数位if ((x & (1 << (i - 1))) != 0) ans += cnt[i];System.out.println(ans);}}//欧拉筛，返回bb范围下的质数个数public static int sievePrime(boolean[] bb, int[] prime) {int c = 0;for (int i = 2; i < bb.length; i++) {if (!bb[i]) prime[++c] = i;for (int j = 1; j <= c && i * prime[j] < bb.length; j++) {bb[i * prime[j]] = true;if (i % prime[j] == 0) break;    }}return c;}}class InputReader{BufferedReader buf;StringTokenizer tok;public InputReader() {buf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));}boolean hasNext() {while (tok == null || !tok.hasMoreElements()) {try {tok = new StringTokenizer(buf.readLine());} catch (IOException e) {return false;}}return true;}String next() {if (hasNext()) {return tok.nextToken();}return null;}int nextInt() {return Integer.parseInt(next());}long nextLong() {return Long.parseLong(next());}String nextLine() throws IOException {return buf.readLine();}
}