关于不定积分和积分上限函数区别的简单讨论

对Df=[a,b]D_f=[a,b]Df=[a,b]的函数f(x)f(x)f(x)而言，假定其在区间内可积并且存在不定积分。

设其存在一个原函数：F(x)F(x)F(x)

那么F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)

由莱布尼茨公式可得：

∫axf(t)dt=F(x)−F(a)\int_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)∫axf(t)dt=F(x)−F(a)

而∫f(x)dx=F(x)+C,C为任意常数\int f(x)dx=F(x)+C,C为任意常数∫f(x)dx=F(x)+C,C为任意常数

因此可以发现，对于确定的区间[a,b][a,b][a,b]

不定积分中的常数项并不确定，这也是为何不定积分是全体原函数集合的缘故（全体原函数中任意两个原函数相差一个常数）。

并且就形式而言，积分上限函数的常数项为确定的常数−F(a)-F(a)−F(a)。

因此，这说明积分上限函数仅仅只是一个原函数，而不定积分却是一个原函数集合。

这就是在函数可积并存在不定积分的情况下，不定积分与积分上限函数的区别，也说明这两个概念并不是更加统一的概念的不同表现形式。

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