矩阵手册（六）—— Cauchy–Schwarz 不等式及其证明

2024-05-30 06:35:30

1. Cauchy–Schwarz 不等式

|⟨u,v⟩|≤∥u∥∥v∥

\left|\langle u,v\rangle\right|\leq \|u\|\|v\|

2. 证明

v=0v=0 或 ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 时，等式成立，然后排除这两种情况，记 uu 到 vv 的投影向量为 uvu_v，则：

uv=⟨u,v⟩v⟨v,v⟩

u_v = \langle u,v\rangle\frac{v}{\langle v,v\rangle}

或者这样理解，向量=方向&长度，uu 在 vv 上的投影长度为 ∥u∥cosθ\|u\|\cos \theta，而方向是向量 vv 的方向，即 v∥v∥\frac{v}{\|v\|}，所以 uv=∥u∥cosθv∥v∥u_v=\|u\|\cos\theta\frac{v}{\|v\|}，然后分子分母同时乘以 ∥v∥\|v\| 得 uv=⟨u,v⟩v⟨v,v⟩u_v=\langle u,v\rangle\frac{v}{\langle v,v\rangle}

记 z=u−uv=u−⟨u,v⟩v⟨v,v⟩z=u-u_v=u-\langle u,v\rangle\frac{v}{\langle v,v\rangle} 必然正交于 vv，

u=uv+z⇓∥u∥2=∥⟨u,v⟩∥2∥v∥2+∥z∥2≥∥⟨u,v⟩∥2∥v∥2

u=u_v+z\\ \Downarrow\\ \|u\|^2=\frac{\|\langle u,v\rangle\|^2}{\|v\|^2}+\|z\|^2\geq \frac{\|\langle u,v\rangle\|^2}{\|v\|^2}

得证。

3. 柯西不等式的其他形式

(∑ia2i)(∑ib2i)≥(∑iaibi)2

\left(\sum_{i}a_i^2\right)\left(\sum_{i}b_i^2\right)\geq \left(\sum_{i}a_ib_i\right)^2

这里提供一个新的证明思路，构造函数法。

f(x)=∑ia2ix2−2∑iaibix+∑ib2i=∑i(aix−bi)2≥0

f(x)=\sum_{i}a_i^2x^2-2\sum_ia_ib_ix+\sum_ib_i^2=\sum_i(a_ix-b_i)^2\geq 0
所以其判别式恒小于等于0，也即：

4(∑iaibi)2≤4∑ia2i∑ib2i

4\left(\sum_ia_ib_i\right)^2\leq 4\sum_ia_i^2\sum_ib_i^2

References

[1] Cauchy–Schwarz inequality
[2] 矩阵手册（五）—— 内积

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